Die folgende Skizze zeigt die Kurve k mit der Gleichung im Intervall . Die Kurve k bildet zusammen mit ihrem Spiegelbild k’ eine zur x-Achse symmetrische Figur.

1. Wie gross ist der Winkel bei der Spitze S?
2. Welches ist die grösste Breite (parallel zur y-Achse gemessen) des Tropfens?
3. Bei der Rotation der Kurve k um die x-Achse entsteht ein 3-dimensionaler tropfenförmiger Körper. Wie gross ist sein Volumen?
4. Diesem Körper wird ein Kreiskegel mit der Spitze im Ursprung und der Höhe h auf der x-Achse einbeschrieben (vgl. Skizze). Für welche Höhe h wird das Volumen des Kegels maximal?

Gegeben ist die Funktion , mit .

1. Gesicht sind die Nullstellen, Extremal- und Wendestellen der Funktion.
2. Wie gross ist die Fläche, die mit der x-Achse einschliesst?
3. Für welchen Wert von u hat das Dreieck mit den Eckpunkten , und maximalen Flächeninhalt?

Ein Champagnerglas hat im Querschnitt die Form einer Parabel 2. Ordnung. Das Glas hat zuoberst einen Durchmesser von 5 cm und eine Tiefe von 15 cm (vgl. Zeichnung).

1. Bestimme die Funktionsgleichung für die Querschnittsparabel. (Tipp: Wähle den Nullpunkt im tiefsten Punkt der Parabel)
2. Denke Dir für die folgenden Aufgaben das Glas liegend. Welche Funktion beschreibt die obere Hälfte der gekippten Querschnittsparabel? (Tipp: Umkehrfunktion)
3. Der Wirt will pro Glas 1 dl Champagner ausschenken. Bis auf welche Höhe muss er das Glas jeweils füllen?
4. Um den Champagner zu kühlen wird in das Glas ein möglichst grosser Eis-Zylinder eingelegt (...eine kulinarische Katastrophe!), der oben nicht über den Rand herausschauen soll. Berechne seine Höhe und sein Volumen.

Für jeden Parameterwert ist durch eine Kurve gegeben.

1. Diskutiere und skizziere die Kurve für . Verlangt sind Definitionsbereich, Nullstellen und Hochpunkt.
2. Die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers in Abhängigkeit des Parameters a.
3. Bestimme so, dass das Volumen des vorher berechneten Rotationskörpers extremal wird. Handelt es sich um ein Minimum oder um ein Maximum?

Eine Poynomfunktion 3. Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt und geht durch die Punkte und .

1. Wie lautet die Funktionsgleichung?
2. Welche Gleichung hat die Wendetangente?
3. Wie gross ist Fläche, die durch den Graph der Polynomfunktion und den Graph der Funktion begrenzt wird?
4. Für welchen x-Wert ist die y-Koordinatendifferenz der beiden Kurven am grössten? Wie gross ist diese Strecke?

Gegeben ist die Funktion .

1. Untersuche den Graphen von f(x) auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Verhalten für grosse und kleine x-Werte, Punkte mit horizontaler Tangente, Wendepunkte.
2. Bestimme die Gleichungen der Kurventangenten in den Punkten und . Zeige, dass die beiden Tangenten senkrecht stehen, und berechne die Koordinaten ihres Schnittpunkts.
3. Bestimme die reellen Parameter a und b so, dass eine Stammfunktion von f(x) ist. Der Graph von f(x) umschliesst zusammen mit den Koordinatenachsen ein im 2. Quadranten gelegenes Flächenstück. Berechne dessen Inhalt.

Gegeben ist die Funktion .

1. Es soll der Definitionsbereich von f(x) und das Verhalten der Funktion für untersucht werden.
2. Wo hat die Tangente an die Kurve die Steigung 0,5? Gesucht ist die Gleichung einer solchen Tangente. Unter welchem Winkel schneidet diese Tangente die Tangente im Punkt ?
3. Bestimme den Wendepunkt W von f(x).

Ein Pilot absolviert mit seinem Flugzeug einen Übungsflug über dem Meer. Zu einem bestimmten Zeitpunkt T befindet er sich auf einem -Steigflug exakt 3 km über dem Meeresspiegel. Etwas später, das Flugzeug ist soeben in waagrechter Fluglage genau 1 km (horizontal) weiter und 1 km (vertikal) höher als zum Zeitpunkt T, setzt der Motor aus. Der Pilot rettet sich mit dem Schleudersitz und die Maschine stürzt ins Meer. Der Auftreffpunkt des Flugzeuges auf der Meeresoberfläche befindet sich horizontal 2 km vom Standort zum Zeitpunkt T entfernt.

1. Erstelle eine Skizze der Situation und der Flugbahn des Flugzeuges. Wähle ein geeignetes Koordinatensystem.
2. Nähere die Flugbahn durch eine Polynomfunktion von geeignetem Grad an.
3. Berechne den Auftreffwinkel des abgestürzten Flugzeuges auf der Meeresoberfläche.

Gegeben ist die Funktion mit dem Parameter .

1. f(x) ist auf Extremal- und Wendestellen (x-Koordinaten genügen) zu untersuchen. Für welche Werte von t hat die Funktion an der Stelle eine Extremstelle?
2. Wie lautet die Tangentengleichung im Schnittpunkt S der Kurve von f(x) mit der y-Achse? Für welchen Wert von t beträgt der Steigungswinkel dieser Tangente ? In welchem Punkt Q schneidet die Normale in S die x-Achse? Für welchen Wert von t beträgt die Entfernung zwischen S und Q Längeneinheiten?
3. Die Kurve von f(x) mit , die Geraden schliessen eine Fläche A ein. Beachte dabei, dass die Gerade die schiefe Asymptote der gegebenen Funktion f(x) ist. Berechne den Inhalt der Fläche A in Abhängigkeit von b. Bestimme den Grenzwert .
4. Die Gerade schneidet die Gerade im Punkt D und die Kurve von f(x) im Punkt E. Für welches t nimmt der Flächeninhalt des Dreiecks DEF mit einen Extremalwert an? Wie gross ist diese extremale Fläche? Zeige, dass es sich bei dieser Fläche um ein Maximum handelt.

Gegeben ist die Funktion mit dem Parameter .

1. Skizziere den Graph der beiden Kurven mit und im gleichen Koordinatensystem. Wie gross ist die ausschliesslich von diesen Kurven eingeschlossene Fläche.
2. Für welchen Wert von k stehen die Tangenten in den beiden Nullstellen der Funktion senkrecht aufeinander?
3. Zeige, dass die von der Kurve und der x-Achse eingeschlossene Fläche unabhängig vom Parameter k ist.
4. Die beschriebene Fläche rotiere um die x-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

Gegeben ist die Funktion .

1. Diskutiere die Funktion . Verlangt sind Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Asymptoten, Extremal- und Wendepunkte. Skizziere die Funktion.
2. Der Punkt A sei die Nullstelle der Funktion und der Punkt B der Wendepunkt mit positiver x-Koordinate. Der Punkt C liege zwischen A und B auf dem Graph von . Bestimme C so, dass die Fläche des Dreiecks maximal wird.
3. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion .
4. Der Graph von schliesst zusammen mit der positiven x-Achse und der Gerade im 1. Quadranten ein Flächenstück ein. Das Flächenstück soll von der Gerade halbiert werden. Wie ist zu wählen?