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Untersuchung einer gebrochen-rationalen Funktion

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Gegeben ist die Funktion $f(x) =--x--- x2 + 1$ .

Diskutiere die Funktion $f(x)$ . Verlangt sind Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Asymptoten, Extremal- und Wendepunkte. Skizziere die Funktion.
Der Punkt A sei die Nullstelle der Funktion und der Punkt B der Wendepunkt mit positiver x-Koordinate. Der Punkt C liege zwischen A und B auf dem Graph von $f(x)$ . Bestimme C so, dass die Fläche des Dreiecks $ABC$ maximal wird.
Bestimme eine Stammfunktion $F (x)$ der Funktion $f(x)$ .
Der Graph von $f(x)$ schliesst zusammen mit der positiven x-Achse und der Gerade $V~ x = 3$ im 1. Quadranten ein Flächenstück $A$ ein. Das Flächenstück $A$ soll von der Gerade $x = q$ halbiert werden. Wie ist $q$ zu wählen?

Definitionsbereich: $IR$ ; Punktsymmetrisch zu O; Nullstellen: $N (0| 0)$ ; Asymptoten: $y = 0$ ; Extrema: $H( 1 |0.5)$ , $T(- 1|- 0.5)$ ; Wendepunkte: $V~ W1( - V~ 3-|--3-) 4$ , $W2(0 |0)$ , $V~ W3( V~ 3-|-3) 4$
$C( 0.68125|0.4653)$
Steigung m der Geraden durch die Punkte A und B berechnen. Der Punkt C ist jener Punkt auf der Kurve, dessen Tangente die Steigung m hat. Dadurch wird der Abstand und somit auch die Fläche maximal.
$integral -x-- 1 2 x2+1 dx = 2 .ln(x +1) +c$
$q = ± 1$
Es ist die Gleichung $2 . integral q-x-dx = integral V~ 3-x-dx 0x2+1 0 x2+1$ zu lösen.