Munterbunt

Ein mit Luft gefüllter Kinderballon wird fallengelassen. $h(t)$ bezeichnet die Höhe des Luftballons in Metern zur Zeit $t$ in Sekunden. Die Differentialgleichung

h''(t) = -g + p.h'(t)2

liefert eine realistische Beschreibung der Funktion $h(t)$ .
$[$ $p = k/m$ ; $m =$ Masse des Luftballons (konstant); $k =$ Luftwiderstandskoeffizient (konstant); $g = 10$ ms $-2$ Erdbeschleunigung $]$

Es soll kurz erläutert werden, welche physikalische Modellvorstellung dieser Differentialgleichung zugrundeliegt.
Wie gross ist die Grenzgeschwindigkeit des Luftballons für den experimentell bestimmten Parameterwert $p = 8$ m $-1$ ?
Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Luftballon auf dem Boden auf, wenn er aus fünf Metern Höhe fallengelassen wird?

Gedämpfte Schwingung

Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Differentialgleichung

(1+ t2).s'(t)+ t.s(t) = 0

mit der Anfangsbedingung

V~ - s(1) = 2

beschrieben.

Es soll gezeigt werden, dass die Funktion $s(t) = V~ -2--- 1 + t2$ eine Lösung der obigen Differentialgleichung ist.
Gefragt ist eine Skizze des $vt-$ Diagramm für $- 10 < t < 10$ .

Versenken von Atommüll im Meer

Über Jahre hinweg wurde radioaktives Material eingeschlossen in Fässern im Meer versenkt, typischerweise in Regionen, wo die Meerestiefe rund 100m beträgt. Von Interesse war dabei unter anderem die Aufprallgeschwindigkeit der Fässer auf dem Meeresboden. Eine Aufprallgeschwindigkeit von 20m/s und mehr galt für die verwendeten Fässer als höchst kritisch. Die Messung der Aufprallgeschwindigkeit ist technisch nicht ganz einfach. Hingegen lässt sich das Absinken der Fässer mittels eines einfachen physikalischen Modells ohne Probleme simulieren. Berücksichtigt man neben der Gravitationskraft und dem Auftrieb auch den Wasserwiderstand, liefert das Newton’sche Prinzip $F = a .m$ unter Berücksichtigung fässerspezifischer Parameter für die Geschwindigkeit der Fässer in m/s die Differentialgleichung

v'(t) = 0.061(57 - 0.2625v)

Ist das Versenken der Fässer vom Standpunkt des Berstens aufgrund dieser Modellannahmen kritisch oder nicht?

Chemische Reaktion

Wir betrachten im folgenden die chemische Reaktion

C5H11F + N aOC2H5 '---> N aF + C5H11OC2H5

$a$ sei die Anfangskonzentration von $C5H11F$ und $b$ die Anfangskonzentration von $N aOC2H5$ . Mit $x(t)$ bezeichnen wir die Konzentration von $NaF$ zur Zeit $t$ . $' x (t)$ bezeichnet man als Reaktionsgeschwindigkeit.

Die chemische Reaktion wird durch das folgende Modell recht gut beschrieben: $x'(t) = r (a - x(t))(b- x(t)) (r > 0 : spezifische Reaktionsrate)$ Stichwortartig soll erläutert werden, warum diese Differentialgleichung die chemische Reaktion gut modelliert.
Im folgenden setzen wir der Einfachheit halber $r = 1$ , $a = 2$ , $b = 1$ (in willkürlichen Einheiten) und betrachten die Differentialgleichung $' x (t) = (2- x(t))(1 - x(t))$ für die Konzentration $x(t)$ von $N aF$ zur Zeit $t$ .
Es soll gezeigt werden, dass die Funktion $( 1 ) x(t) = 2 1- 2---e-t$ eine explizite Lösung dieser Differentialgleichung ist.

Fallschirmspringer

Ein 80kg schwerer Fallschirmspringer springt aus einer Höhe von 4000m über dem Landeplatz aus dem Flugzeug. $s(t)$ bezeichnet die bis zur Zeit $t$ zurückgelegte Fallstrecke, $v(t)$ die Fallgeschwindigkeit im Zeitpunkt $t$ (Angaben in Metern und Sekunden).

Die Fallbewegung des Fallschirmspringers wird durch das folgende Modell beschrieben: $v'(t) = g - k-v(t)2 (g = 10m/s2) m$ Stichwortartig soll erläutert werden, warum diese Differentialgleichung die Fallbewegung gut modelliert.
Es soll gezeigt werden, dass die Funktion $V~ ---- (V ~ --- ) mg- kg- v(t) = k tanh m .t$ eine explizite Lösung obiger Differentialgleichung ist.
Hinweis:
$ex - e-x tanh x = ex-+-e-x-$
In Fallschirmspring-Kursen wird bei geschlossenem Fallschirm mit kg/m, bei geöffnetem Fallschirm mit kg/m gerechnet. Der Fallschirmspringer öffnet den Schirm 20 Sekunden nach dem Verlassen des Flugzeugs. Unglücklicherweise öffnet sich der Schirm nur teilweise. Nachträgliche Untersuchungen ergeben, dass der -Wert anstelle der erwarteten 30kg/m nur 3kg/m betrug.
1. In welcher Höhe über dem Boden öffnete der Fallschirmspringer seinen Schirm?
2. Mit welcher Geschwindigkeit erreichte der Fallschirmspringer den Boden?
Der Parameterwert $k$ berücksichtigt die Grösse und Beschaffenheit des geöffneten Fallschirms und bestimmt deshalb wesentlich die Aufprallgeschwindigkeit des Fallschirmspringers auf dem Boden. Um welchen Faktor verringert sich die Aufprallgeschwindigkeit, wenn der Parameterwert $k$ verdoppelt wird?

Logistisches Wachstum

Das Wachstum einer Taufliegen-Population unter Laborbedingungen kann näherungsweise durch die Differentialgleichung

f'(t) = 0.0006 .f(t).(350- f(t))

beschrieben werden. $f(t)$ bezeichnet die Anzahl Taufliegen zur Zeit $t$ in Tagen.

In einigen ausformulierten Sätzen soll erläutert werden, warum diese Differentialgleichung eine sinnvoll Beschreibung einer Taufliegen-Population darstellt.
Wie sieht das Richtungsfeld der Differentialgleichung in einem relevanten Bereich aus?
Nach wievielen Tagen hat sich eine zu Beginn 100 Taufliegen umfassende Population verdoppelt?
Es soll gezeigt werden, dass die Funktion $350 f(t) = ----0.21t--- 13e + 1$ eine Lösung der Differentialgleichung ist.
Wie sieht die Wachstumskurve $(t,f(t))$ aus? Welche Koordinaten hat der Wendepunkt?

Fichtenwachstum

Der Durchmesser $d(t)$ einer Fichte auf ein Meter Höhe über dem Boden in Abhängigkeit des Alters $t$ in Jahren wird näherungsweise beschrieben durch die Differentialgleichung

d'(t) = 0.05d(t)(1- d(t))

Es soll überprüft werden, dass die Funktion $d(t) = -----1----- 1+ e-0.05t+3$ eine Lösung der Differentialgleichung ist.
Gesucht ist eine Skizze des Graphen der Wachstumsfunktion in einem relevanten Bereich.
Durch welche Funktion wird das Alter $t$ der Fichte in Abhängigkeit ihres Durchmessers $d(t)$ beschrieben?

Anwendungen von Differentialgleichungen