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grafische und numerische Lösung

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Aufgaben

Explizite und Näherungslösung von Differentialgleichungen
Gegeben ist die Differentialgleichung $f'(x) = x2- 3x$ mit der Anfangsbedingung $f(0) = 2$ . Wie lautet die explizite Lösung dieser Differentialgleichung? Von Hand soll ausgehend vom Startwert $f(0) = 2$ mittels des Eulerverfahrens und der Schrittweite $Dx = 0.5$ näherungsweise der Funktionswert $f(1)$ berechnet und mit dem exakten Wert von $f(1)$ verglichen werden.

Approximation der Zahl e
Gegeben ist die Differentialgleichung $f'(x) = f(x)$ mit der Anfangsbedingung $f(0) = 1$ . Diese Differentialgleichung hat die Lösung $f(x) = ex$ . Insbesondere erhält man also für $x = 1$ den Funktionswert $f(1) = e$ . Löst man die Differentialgleichung ausgehend vom Startwert $f(0) = 1$ mit dem Eulerverfahren numerisch, lässt sich also die Eulerzahl $e$ approximieren. Welchen Näherungswert für $e$ liefert das Eulerverfahren bei Schrittweite $Dx = 0.1$ bzw. bei Schrittweite $Dx = 0.01$ ?

Diskretisierung
Gegeben ist die Differentialgleichung $y'= y2 + y$ mit der Startbedingung $y(0) = 1$ . Gesucht ist ein Näherungswert durch Diskretisierung für $y(2)$ . Für die Diskretisierung ist die Schrittweite $Dx = 0.5$ zu wählen.