Munterbunt

Zwei Punkte starten zur Zeit $t = 0$ auf einer Geraden gemäss den Gesetzen

s1(t) = 0.5t2 + 5 1. Punkt

s2(t) = t3- 10t 2. Punkt

Dabei bezeichnet $s(t)$ den Abstand der Punkte vom Nullpunkt zur Zeit $t$ .

Mit welchen Geschwindigkeiten und in welche Richtungen beginnen die beiden Punkte ihre Bewegungen?
Wann und wo kehrt der 2. Punkt um und wie gross ist im Umkehrpunkt seine Beschleunigung?
Wann überholt der 2. Punkte den 1. Punkt?
Welches ist die grösste Entfernung der beiden Punkte bevor der 2. Punkt den 1. Punkt überholt?

Längenwachstum von Fichten

Das jährliche Längenwachstum $w$ (in Metern) einer Fichte wird in Abhängigkeit ihres Alters $t$ (in Jahren) näherungsweise durch die Funktion

w(t) =------500------ 625+ (t- 38.75)2

beschrieben.

In welchem Alter wächst der Baum 50cm im Jahr?
In welchem Zeitpunkt wächst die Fichte am meisten?
Gefragt ist eine Skizze des Graphen der Funktion $w(t)$ und der Ableitung $' w (t)$ .
Wie lautet die Ableitung $w'(t)$ ?
Wie hoch wird (nach obigem Wachstumsgesetz) eine ausgewachsene Fichte?

Aufblasen eines Ballons

Bläst man einen Ballon auf, so wird der Ballon zu Beginn rasch grösser. Je mehr Luft aber in den Ballon hineingeblasen wird, umso langsamer wächst der Radius des Ballons. Was wir hier beobachten, ist die Änderungsrate des Radius in Abhängigkeit des Volumens des Ballons.
Der Radius $r$ einer Kugel mit Volumen $V$ ist gegeben durch

(3V )13 r(V ) = 4p-

Gefragt ist eine Skizze des Graphen der Funktion $r(V)$ und der Ableitung $r'(V)$ im Bereich $0 < V < 2$ .
Wie gross ist die Änderungsrate des Radius an der Stelle $V = 0.5$ , $V = 1$ und $V = 1.5$ ?

Energieverbrauch von Papageien

Bei einer Papageienart hat man gemessen, dass der Flug über 1 km bei einer Geschwindigkeit von $v$ km/h die Energie

E(v) = 0.31v+ 379.75--21.7 v

Joule pro g Körpergewicht kostet.

Gefragt ist eine Skizze eines relevanten Ausschnittes des Graphen der Funktion $E(v)$ .
Mittels der Ableitung $' E (v)$ soll der exakte Wert der Fluggeschwindigkeit, bei welcher der Energieverbrauch des Papageis minimal ist, bestimmt werden.
Das Resultat ist anhand eines numerischen Verfahrens zu überprüfen und es soll argumentiert werden, warum bei dieser Aufgabe die Lösung mittels eines numerischen Verfahrens der exakten Lösung mittels Differentialrechnung vorzuziehen ist.

Newton lässt grüssen

Gegeben ist die Funktion

s(t) = sin (t -sint)

$s(t)$ beschreibt die Position eines asymmetrisch schwingenden Körpers zur Zeit $t$ .

Wie lautet die Geschwindigkeitsfunktion?
Wie gross ist der lokale Attraktor der Nullstelle $t = 0$ bei der Newtoniteration für die Funktion $s(t)$ ?

Bewegung eines Punktes

Ein Punkt startet zur Zeit $t = 0$ und bewegt sich gemäss der Vorschrift

( ) cost s(t) = sint sin2(3t)

$s(t)$ ist also der Ortsvektor des Punktes zur Zeit $t$ .

Gefragt ist eine Skizze der Bahnkurve des Punktes in einem Schrägbild.
Wann hat der Punkt die grösste Geschwindigkeit?

Brechungsgesetz von Snellius

Lichtstrahlen werden beim Übergang von einem Medium (Beispiel: Luft) in ein anderes Medium (Beispiel: Wasser) gebrochen. Die Lichtbrechung ist unter anderem für das Entstehen von Regenbogen verantwortlich. Zur Erklärung des Phänomens der Lichtbrechung genügen einfache geometrische Beziehungen und das Extremalprinzip der Natur: Ein Lichtstrahl wählt seinen Weg immer so, dass er den Weg in minimaler Zeit zurücklegen kann.
In untenstehender Skizze legt ein Lichtstrahl den Weg vom Punkt $P(- 1|1 )$ zum Punkt $Q( 1|- 1)$ zurück. Unterwegs wird er an der $x$ -Achse gebrochen. Oberhalb der $x$ -Achse beträgt die Geschwindigkeit des Lichtstrahls $v1 = 5$ , unterhalb der $x$ -Achse $v2 = 2$ .

An welche Stelle $x$ durchstösst der Lichtstrahl die Trennlinie der beiden Medien?
$a1$ bzw. $a2$ bezeichnen die Winkel des Lichtstrahls gegenüber der Vertikalen. Das Brechnungsgesetz von Snellius besagt $v1-= sina1 v2 sina2$ Das Brechnungsgesetz soll anhand der berechneten Daten überprüft werden.

Interpretation des vt-Diagramms einer Schwingung

Gegeben ist untenstehender Ausschnitt des $vt$ -Diagrammes einer Schwingung. Die Kurve ist punktsymmetrisch bezüglich dem Punkt $(p,0)$ .

Gesucht ist Näherungswert für $f'(4.5)$ an.
Gefragt ist eine Skizze des $at$ -Diagramms.
Gefragt ist eine Skizze des $st$ -Diagramms unter der Anfangsbedingung $s(0) = 0$ .

Hirschpopulation

Die Grösse $P(t)$ einer Hirschpopulation wird modelliert durch

( ) ( ) P(t) = 4000+ 400sin p-t + 180sin pt 6 3

wobei $t$ die Zeit in Monaten ab dem 1. April bezeichnet.

Wann ist die Population am grössten? Wieviele Hirsche umfasst die Population in diesem Zeitpunkt?
Wann ist die Population am kleinsten? Wieviele Hirsche umfasst die Population in diesem Zeitpunkt?
Wann wächst die Population am schnellsten? Wann nimmt die Population am stärksten ab?
Wie schnell wächst die Population am 1. April?

Anwendungen der Differentialrechnung