Die Zahl 72 ist so in zwei Summanden zu zerlegen, dass deren Produkt möglichst gross wird.

Die Zahl 96 ist so in zwei Faktoren zu zerlegen, dass deren Summe möglichst klein wird.

Die beiden Orte A und B liegen abseits einer (geradlinigen) Eisenbahnlinie. Der an der Bahnlinie dem Ort A am nächsten gelegene Punkt C hat einen Abstand von 5 km. Analog hat der dem Ort B am nächsten gelegene Punkt D der Bahnlinie einen Abstand von 7 km. Die Entfernung von C zu D beträgt 12 km. An der Bahnlinie, zwischen C und D soll ein neuer Bahnhof erstellt werden mit der Bedingung, dass die Gesamtentfernung (d.h. von A zum Bahnhof plus von B zum Bahnhof) so klein als möglich wird. Wieviele Kilometer von C entfernt kommt der neue Bahnhof zu stehen?

Eine Firma stellt Radiergummi her. Die Produktionsmaschinen können pro Tag maximal 10’000 Stück herstellen. Die Produktionskosten für x Mengeneinheiten zu 1’000 Stück lassen sich mit folgender Formel berechnen:

Ein Bogenfenster besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Abmessungen des Fensters gewählt werden, damit bei einer Fensterfläche von 250 möglichst wenig Fensterumrandung benötigt wird?

Ein Bogenfenster besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Abmessungen des Fensters gewählt werden, damit bei einer 6 Meter langen Fenster-umrandung eine möglichst grosse Fensterfläche entsteht?

Ein 4m langer Draht wird in zwei Teile geschnitten. Aus einem Teil wird ein Kreis gebogen, aus dem anderen ein Quadrat. Bei welchem Kreisradius ist die Summe der Kreisfläche und der Quadratfläche minimal bzw. maximal?

Es sollen zylindrische Joghurtbecher mit 220 Inhalt hergestellt werden, die mit einem Aluminiumdeckel verschlossen werden. Der Preis für Aluminiumblech ist fünfmal so hoch wie der Preis für den verwendeten Plastik. Wie gross sind unter diesen Annahmen der Radius und die Höhe des Bechers zu wählen, damit die Materialkosten minimal werden?

Die Tragfähigkeit eines Balkens mit rechteckigem Querschnitt der Breite und der Höhe berechnet sich nach der Formel . Aus einem zylindrischen Holzstamm mit Radius soll ein Balken mit maximaler Tragfähigkeit geschnitten werden. Welche Breite und Höhe hat der Balken?

Eine Lampe steht 7m vor dem Schaufenster eines Geschäftes. Der Punkt am Boden wird je nach Höhe der Lampe verschieden stark beleuchtet. Die Intensität der Beleuchtung im Punkt ist proportional zu und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung . Es gilt:

Ein Blech der Breite soll durch Hochbiegen der seitlichen Enden zu einer trapezförmigen Dachrinne mit möglichst grossem Querschnitt verformt werden. Unter welchem Winkel müssen die Enden abgebogen werden, wenn auf beiden Seiten je ein Stück Blech der Breite hochgebogen wird?

Eine Gruppe von Pfadfindern soll aus zwei Stangen der Länge 2m und zwei Stangen der Länge 4m ein Tor für den Eingang zu ihrem Lagerplatz zimmern. Die 2m-Stangen werden als Pfosten und die 4m-Stangen als Dach eingesetzt. Wie muss der obere Öffnungswinkel gewählt werden, wenn das Tor eine möglichst grosse Durchlassfläche (Querschnittfläche) haben soll?

Ein Champagnerglas hat die Form eines Kegels und fasst exakt 1.5 dl. Wie gross ist die obere Glasöffnung zu wählen, damit bei der Herstellung des Glases möglichst wenig Material gebraucht wird? Wir nehmen an, dass die Dicke des Glases überall gleich gross ist und somit keine Rolle spielt.
(Gerader Kreiskegel: )

Ein zylinderfürmiges Gefäss ohne Deckel soll einen Inhalt von aufweisen. Der Boden wird aus einem quadratsichen Stück Blech ausgeschnitten. Das dabei wegfallende Material wird nicht wiederverwendet und muss zum Materialverbrauch gerechnet werden.
Bei welche Zylindermassen ist der Materialverbrauch für die Herstellung des Gefässes am geringsten?

Die Stadt A befindet sich direkt am Meer, die Stadt B in nicht leicht zugänglichem Gebiet km vom Meer entfernt. Die beiden Städte kommen überein, eine gemeinsame Meerwasser-Entsalzungsanlage zu bauen. Die Kosten für das Verlegen der Pipeline vom Meer weg ins Landesinnere ist pro km doppelt so teuer wie das Verlegen der Pipeline (pro km) dem Meer entlang. An welcher Stelle muss die Entsalzungsanlage gebaut werden, damit die Kosten für die Pipeline möglichst gering ausfallen, wenn

• km, km
• a und b beliebig sind?

Aus einem Stück Schnur der Länge 10cm soll der Umfang eines Kreissektors gebildet werden. Für welchen Radius und welchen Zentriwinkel wird der Flächeninhalt des Kreissektors möglichst gross?

Aus einem kreisförmigen Stück Karton mit Radius 10cm soll eine kegelförmige Tüte geformt werden, indem man den Kreis längs eines Radius einschneidet und einen (vernachlässigbaren) Teil der Kreisfläche überlappen lässt. Welches ist das grösstmögliche Volumen einer so hergestellten Tüte?

Eine Schachtel hat die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche. Die Oberfläche der Schachtel sei S. In welchem Verhältnis muss die Kante a der Grundfläche zur Schachtelhöhe h sein, damit das Volumen der Schachtel maximal wird?

Einer Halbkugel mit dem Radius R = 4cm wird ein liegender Zylinder mit dem Grundkreisradius r und der Höhe h einbeschrieben. D. h. der Zylinder berührt mit der Mantelfläche den Boden der Halbkugel. Wie ist die Zylinderhöhe h zu wählen, damit der Zylinder möglichst grosses Volumen hat?