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Eigenschaften von Kurven

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Aufgaben

Rechtwinklig schneiden
Gegeben sind die Kurven $y1 = 1 - 1x2 3$ und $y2 = ax2$ . Wie ist der Parameter a zu wählen, damit sich die beiden Kurven rechtwinklig schneiden?

x-Achse als Tangente
Gegeben ist die Funktion $f(x) = 1x(x - a)2 8$ mit $a (- IR$ und $a > 0$ . Es ist zu beweisen, dass für jedes $a$ die x-Achse eine Tangente an die Kurve von $f(x)$ ist.

Tangenten
Gegeben ist die Funktion $f(x) =--2ex-- 2 + ex$ . Wie lautet der Definitionsbereich der Funktion? Wie verhält sich die Funktion für sehr grosse und für sehr kleine x Werte? An welcher Stelle hat die Tangente an die Kurve die Steigung 0.5? Unter welchem Winkel schneidet die Tangente im Punkt $P(0 \|?)$ die x-Achse? Gesucht ist der Wendepunkt W der Funktion.

Wendestelle
Für welchen Wert von a hat die Funktion $f (x) = (2x - a).exa$ bei $x = -1$ eine Wendestelle?

Berühren von Kurven
Für welche Werte des Parameters $a$ berühren sich die Kurven $y = ex$ und $y = ax2$ ?

Berühren in einem Punkt
Beweise, dass sich alle Parabeln mit der Gleichung $y = ax3 + x+ 3$ mit $a (- IR$ in einem festen Punkt berühren. Beachte: Beispiele sind kein Beweis!

Sehne einer Parabel
Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x) = ax2$ mit $a (- IR$ . Wählt man zwei beliebige Punkte P und Q auf der Kurve von f(x) und verbindet sie, so nennt man diese Verbindung eine Sehne. Beweise dass die Steigung jeder beliebigen Sehne gerade gleich dem Durchschnitt der Tangentensteigungen in den entsprechenden Punkten P und Q ist.

Symmetrie
Beweise: Die Funktion $f (x) = 1x4- 4x3 +8x2 2$ ist symmetrisch zur Geraden $x = 2$ .

Berühren und senkrecht schneiden
Gesucht ist die Gleichung derjenigen Gerade, welche die Kurve $y = x2- 3x + 4 2$ berührt und die Gerade $y = 2x- 3$ rechtwinklig schneidet.

Abstand Punkt / Kurve
Gegeben ist die Polynomfunkktion $f(x) = x4 -2x3 + 2x- 1$ Welches sind die charakteristschen Merkmale dieser Funktion und wie sieht ein relevanter Ausschnitt der Graphen der Funktion aus? Welcher Punkt der Kurve $y = f(x)$ hat vom Punkt $(0\|0)$ den kleinsten Abstand?

Dreieck
Gegeben ist die Funktion $-tx2 +-t f(x) = (x + 1)2$ mit $t > 0 (- IR$ . Die Tangente an die Kurve im Punkt $P(2 \|59t)$ und die Tangente im Punkt $Q( 0\|t)$ schliessen zusammen mit der x-Achse ein Dreieck ein. Wie lauten die Gleichungen der Tangenten in P und in Q? Es ist zu zeigen, dass die Dreiecksseite auf der x-Achse von t unabhängig ist. Wie gross ist der Flächeninhalt des Dreiecks?