Munterbunt

x-Achse als Tangente

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Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 1x(x - a)2 8$ mit $a (- IR$ und $a > 0$ .
Es ist zu beweisen, dass für jedes $a$ die x-Achse eine Tangente an die Kurve von $f(x)$ ist.

Lösung

Nullstellen ablesen: $x1 = 0$ und $x2 = a$
Wenn f(x) die x-Achse als Tangente hat, so muss eine der beiden Nullstellen für jeden Wert von a gleichzeitig ein Extremum sein.
$f'(x1) = f'(0) /= 0 ==>$ kommt nicht in Frage.
$f'(x2) = f'(a) = 3a2- 1a2 + 1a2 = 0 8 2 8$ unabhängig vom Wert von a!