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Überlegungen an Polynomfunktionen

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Aufgabe

Welche Polynomfunktion 4. Grades der Form $f (x) = x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0$ hat im Punkt $P(1/0)$ und im Punkt $Q(0/ - 1)$ Wendepunkte?
Wie muss der Parameter $a$ gewählt werden, dass sich die Kurve $3 y = x + ax$ und die Gerade $y = -x$ rechtwinklig schneiden?
Welche Wende- und Terrassenpunkte hat die Kurve $y = x4 + x3$ ?

Lösung

$P$ und $Q$ müssen auf dem Graph liegen und die zweite Ableitung muss für $x = 1$ und $x = 0$ Null sein. $f(x) = x4- 2x3 + 2x -1$
Gemeinsamer Schnittpunkt: $3 x + ax = -x$
Senkrecht schneiden: $2 3x + a = 1$
$a1 = 1,a2 = -2$
Terrassenpunkt bei $x = 0$ , Wendepunkt bei $x = -0.5$