Munterbunt

Aufgabe dem Aufgabenblatt hinzufügen

Funktionenschar

Übersicht > Analysis > Differentialrechnung > Kurvenuntersuchungen / Kurveneigenschaften > Kurvendiskussion > Funktionenschar

Aufgabe

Gegeben ist die Funktionenschar $x2--x-+-t ft(x) = x -1$ mit $t /= 0 (- IR$ .

Wir betrachten vorerst $t = 4$ . Bei der Funktion $f4(x)$ sind Definitionsbereich, Symmetrie, Pole, Asymptoten, Nullstellen, Extremal- und Wendepunkte zu untersuchen. Es ist ein vernünftiger Ausschnitt der Kurve zu skizzieren.
Für welche $t (- IR$ haben die Graphen von $ft(x)$ Extremalpunkte? (Auf einen Test mit der 2. Ableitung kann verzichtet werden.)

Lösung

$D = IR \{1}$ ; keine Symmetrie; Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x = 1$ ; Schiefe Asymptote $y = x$ ; keine Nullstellen; Tiefpunkt $T(3 |5)$ ; Hochpunkt $H( -1 |-3 )$ ; keine Wendpunkte
Ableitungen: $' x2--2x--3- y = (x- 1)2$ ; $'' --8---- y = (x - 1)3$
$t > 0$ ; aus der Diskriminante der quadratischen Funktion im Nenner der ersten Ableitung.