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Anwendungen der Integralrechnung

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Aufgaben

Kriechgeschwindigkeit eines Käfers
Ein Käfer bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v(t) =--1- 1 + t$ $0 < t < 1$ Zeit in Stunden, $v$ Geschwindigkeit in $m/h$ . Welche Strecke legt der Käfer im Zeitintervall $[0,1]$ zurück? Zu welcher Zeit ist der Absolutbetrag der Beschleunigung des Käfers nur noch halb so gross wie im Zeitpunkt $t = 0$ ?

Asymmetrisch schwingender Körper
Die Geschwindigkeit $v(t)$ eines asymmetrisch schwingenden Körpers im Zeitpunkt $t$ wird beschrieben durch $v(t) = sin (t - sint)$ Gefragt ist eine Skizze des zugehörigen $vt$ - und $at$ -Diagramms. Gefragt ist eine Skizze des zugehörigen $st$ -Diagramms im Fall $s(0) = 0$ . Die Schwingung hat die Periode $2p$ . In welchen Zeitpunkten $0 < t < 2p$ ist die Beschleunigung des Körpers gleich 0 ? In welchen Zeitpunkten ist der Absolutbetrag der Beschleunigung am grössten bzw. am kleinsten? Welchen Weg legt der Körper im Intervall $0 < t < 2p$ zurück?

Tageslichtdauer in Madrid
Die Anzahl Stunden $h(t)$ pro Tag mit Tageslicht in Madrid in Abhängigkeit des Tages wird näherungsweise beschrieben durch $h(t) = 12 +2.4sin [0.0172(t -80)]$ $t$ bezeichnet die Anzahl Tage seit Jahresbeginn. Wie gross ist die durchschnittliche Tageslichtdauer in Madrid im Januar über das ganze Jahr hinweg ?

Gleichseitiges Dreieck mit Parabelbögen
Einem gleichseitigen Dreieck werden drei Parabelbögen einbeschrieben (vgl. Skizze - nicht massstäblich!). Die Parabelbögen schneiden sich nur in den Ecken des Dreiecks und haben die grösstmögliche Fläche. Wie viele Prozent der Dreiecksfläche befinden sich nicht unter einem Parabelbogen?

Umfahrungsstrasse
Zwischen zwei Ortschaften $A(0 \|4)$ und $B(4 \|0)$ liegt die Ortschaft C (alle Angaben in Kilometer!). Die drei Dörfer sind durch eine geradlinige Strasse verbunden. Neu soll nun eine Umfahrungsstrasse um die Ortschaft C gebaut werden. Der zuständige Ingenieur hat berechnet, dass die Umfahrungsstrasse entlang der Kurve $f(x) =-1x4 - 1x3 +x2 - x+ 4 16 2$ führen muss. Durch die neue Strasse wird das Land zwischen der alten und der neuen Strasse nicht mehr nutzbar. Der Staat kauft daher den Eigentümern dieses Land für 200 Euro pro $m2$ ab. Wieviel Geld muss der Staat dafür locker machen?