Munterbunt

Gleichseitiges Dreieck mit Parabelbögen

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Aufgabe

Einem gleichseitigen Dreieck werden drei Parabelbögen einbeschrieben (vgl. Skizze - nicht massstäblich!). Die Parabelbögen schneiden sich nur in den Ecken des Dreiecks und haben die grösstmögliche Fläche. Wie viele Prozent der Dreiecksfläche befinden sich nicht unter einem Parabelbogen?

Lösung

$331% 3$
Zuerst muss für einen der Parabelbögen die Gleichung ermittelt werden. Dazu soll ein Koordinatensystem eingeführt werden, z.B. mit dem Nullpunkt in der Mitte der Basis. Die Länge der Dreiecksseite kann beliebig gewählt werden. Die Winkelhalbierende in jeder Dreiecksecke ist zugleich Tangente an die entsprechenden Parabeln (d.h. Winkel $30o$ ).
Mit Integralrechnung kann dann die Fläche zwischen einer Parabel und der Basis ausgerechnet werden. Diese Fläche mal 3 im Verhältnis zur Dreiecksfläche ergibt das Resultat.