Munterbunt

Tangenten an Parabel

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Aufgabe

Gegeben ist die Parabel mit der Funktion $y = ax2 + 1$ und $0 < a < 1$ .
Bei $x1 = - 1$ und $x2 = 2$ werden die Tangenten an die Kurve gelegt. Die Gleichungen dieser Tangenten sind $t1 : y = -2ax + 1- a$ und $t2 : y = 4ax+ 1- 4a$
Für welchen Wert von a hat die Fläche zwischen den beiden Tangenten und der Kurve einen Inhalt von $3 2$ ?

Lösung

$a = 2 3$
Tangentenschnittpunkt bei $x = 1 2$ unabhängig von a.
$A = integral 0.5ax2 + 2ax+ a dx = 9a 1 -1 8$
$integral 2 2 9 A2 = 0.5ax - 4ax+ 4a dx = 8a$
$A1 + A2 = 94a = 32$