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Rotationskörper/Kurvenlängen/Oberflächenberechnungen

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Aufgaben

Rotationskörper
Gegeben sind die beiden Funktionen $f(x) = 2 V~ x g(x) = V~ 5---x$ Die Fläche die diese Kurven zusammen mit der x-Achse einschliessen rotiert um die x-Achse. Wie gross ist das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

Kreiskegel im Rotationskörper
Gegeben ist die Kurve $y = 4- 2 V~ x-$ für $x > 0$ . Die Kurve schliesst mit den Koordinatenachsen im ersten Quadranten ein Flächenstück ein. Dieses Flächenstück rotiere um die x-Achse. Welches Volumen hat der entstehende Rotationskörper? Diesem Rotationskörper wird ein gerader Kreiskegel einbeschrieben, dessen Spitze im Koordinatenursprung liegt und der das grösstmögliche Volumen hat. Wie ist die Höhe x des Kegels zu wählen? Wie gross wird sein Volumen?

Vase
Eine 2 dm hohe Vase hat die Form eines Rotationskörpers. Dieser Rotationskörper entsteht durch Drehung der Kurve $V~ ----------- ex-1 + e1- x y = ----2----- 0 < x < 2$ um die x-Achse. In welcher Höhe ist der Flächeninhalt des Querschnittes minimal? Wie viel Wasser fasst die Vase? Wie hoch steht das Wasser, wenn die Vase zu drei Viertel voll ist?

Volumen einer Zwiebel
Eine Zwiebel kann durch Rotation der Kurve $y = (5- x). V~ x-$ um die x-Achse dargestellt werden. Wie gross ist das ’Zwiebelvolumen’?

Rotationskörper
Das von der Funktion $f(x) = x2 .ex - 5x2$ und der x-Achse eingeschlossene Flächenstück rotiert um die x-Achse. Wie gross ist das Volumen des entstandenen Rotationskörpers?