Gegeben ist das Dreieck PQR mit .

1. Welchen Flächeninhalt hat das Dreiecks PQR?
2. Die drei Punkte P, Q und R bilden zusammen dem Punkt S eine Pyramide mit der Grundfläche PQR und der Spitze S. Wie lautet die Koordinatengleichungen der Ebenen, in denen sich die Spitze S bewegen kann, so dass das Volumen V dieser Pyramide 75 beträgt.

Gegeben sind die Punkte , , und .

1. Wie lautet die Koordinatengleichung der Ebene E(ABC)?
2. Wie gross ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC?
3. Wie gross ist der Schnittwinkel zwischen der Gerade g(AS) und der Ebene E(ABC)?
4. Gesucht ist die Schnittgerade zwischen der Ebene E(ABC) und der Ebene F: .
5. Wie gross ist das Volumen der Pyramide ABCS?

Gegeben sind die Punkte , , und .

1. Es ist zu zeigen, dass die vier Punkte ein gleichschenkliges Trapez, aber kein Parallelogramm bilden.
2. Wie gross ist der Winkel im Trapez ABCD?
3. In welchem Punkt F schneiden sich die beiden Diagonalen?
4. Wie lautet die Koordinatengleichung der Ebene E(ABCD)?
5. Das Trapez ABCD bildet zusammen mit dem Punkt S die Pyramide ABCDS. Der Punkt S liegt auf der Senkrechten zur Ebene E durch den Punkt F und hat von der Ebene E den Abstand 15. Die z-Koordinate von S ist negativ. Wie lauten die Koordinaten von S?

Von einer geraden, quadratischen Pyramide kennt man den Mittelpunkt der Grundfläche ABCD, die Spitze und einen Punkt auf der Seitenkante .
Wie lauten die Koordinaten der Punkte , , und ?

Gegeben sind die beiden parallelen Geraden p und q, sowie eine dritte Gerade g.

1. Wie gross ist der Abstand von p und q?
2. Unter welchem Winkel schneidet g die von p und q aufgespannte Ebene?
3. Eine (gerade) quadratische Pyramide hat ihre Spitze S auf der Geraden g; je zwei benachbarte Ecken der Grundfläche liegen auf p bzw. q. Welche Koordinaten hat der Punkt S?
4. Wie lauten die Koordinaten eines weiteren Eckpunktes der Pyramide?

Die Vektoren schliessen einen rechten Winkel ein. Der Vektor hat die Länge 15. Weiter gilt für die Komponenten von .

1. Bestimme die Komponenten des Vektors .
2. Mit den Vektoren und wird vom Punkt aus ein Quadrat ABCD aufgespannt.
   Bestimme k und die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte B, C und D dieses Quadrats.
3. Wie lautet die Koordinatengleichung der Ebene ABC?
4. Der Ursprung ist die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche ABCD. Wie gross ist ihr Volumen?
5. Wie gross ist der Winkel zwischen der Seitenkante AO und der Grundfläche ABCD?

Die Punkte , und bilden die Ecken der Grundfläche eines Tetraeders. Die Spitze D liegt in der Ebene mit der Gleichung und steht senkrecht über dem Schwerpunkt der Grundfläche.

1. Welches ist der grösste Winkel der Grundfläche?
2. Welchen Inhalt hat die Grundfläche?
3. Wie lautet die Koordinatengleichung der Grundflächenebene G?
4. Wie gross ist die Höhe h des Tetraeders?
5. Wie gross ist der Winkel zwischen der Seitenkante AD und der Grundfläche?
6. Die Gerade durch die Punkte A und D wird an der Grundflächenebene G gespiegelt. Wie lautet die Gleichung der gespiegelten Gerade?

Gegeben ist das Tetraeder .

1. Wie gross ist die Oberfläche des Tetraeders?
2. Liegt der Punkt auf der Oberfläche des Tetraeders?
3. Die Gerade durchstösst das Tetraeder neben in einem weiteren Punkt. Wie lauten die Koordinaten dieses Durchstosspunktes?
4. Die Berechnung der Durchstosspunkte einer Geraden mit einem Tetraeder stellt keine grossen Probleme dar. Hingegen ist der Berechnung der Durchstosspunkte einer Geraden mit einem beliebigen Polyeder in vielen Fällen auch für einen Computer eine schwierige Aufgabe. In einigen ausformulierten Sätzen soll formuliert werden, wo hier das Problem liegt.

Der Punkt ist Spitze eines geraden Kreiskegels, dessen Grundkreis auf der Ebene liegt. Vom Punkt weiss man, dass er auf dem Grundkreis des Kegels liegt.

1. Welche Länge hat die Höhe des Kegels?
2. Wie gross ist der Winkel der Mantellinie gegenüber der Grundkreisebene?
3. Wie lauten die Koordinaten desjenigen Punktes Q des Grundkreises, der von P den grösstmöglichen Abstand hat?

Zwei Kreise schneiden sich in den Punkten und . Der Mittelpunkt des einen Kreises liegt auf der Geraden und der zweite Mittelpunkt liegt auf der Geraden h. Die drei Geraden g, h und (AB) schneiden sich im Punkt P. Die Geraden g und h schliessen einen Winkel von 45 Grad ein.

1. Skizziere die Situation und bestimme die Radien und die Mittelpunkte der beiden Kreise.
2. Bestimme die Gleichung und den Zwischenwinkel der beiden Tangenten, die vom Punkt an den Kreis mit Mittelpunkt auf g gelegt werden.

Gegeben sind die beiden Punkte und .

1. Eine durch A und B gehende Kugel hat ihr Zentrum auf der z-Achse. Bestimme Mittelpunkt und Radius der Kugel.
2. Eine zweite Kugel hat ihr Zentrum ebenfalls auf der z-Achse. Sie hat die Gerade durch die Punkte A und B als Tangente. Wo befindet sich das Zentrum der kleinsten Kugel dieser Art.

Gegeben sind die Punkte , und , sowie die Kugeln

1. Wie lautet die Koordinatengleichung der Ebene mit den Punkten A, B und C?
2. Wie gross ist der spitze Schnittwinkel der Geraden durch die Punkte A und B und der Geraden durch die Punkte B und C?
3. Beweise: Die Kugel ergibt sich durch Spiegelung der Kugel an der Ebene .
4. Die beiden Kugeln schneiden sich in einem Kreis. Berechne seinen Radius und seinen Mittelpunkt.

Gegeben sind die Punkte , , und , sowie die Ebene und die Kugel .

1. Wie lautet die Koordinatengleichung der Ebene durch die Punkte A, B und C?
2. Wie gross ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC?
3. Die Gerade g geht durch die Punkte A und D. Wie gross ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden g und der Ebene ?
4. Gesucht ist ein Punkt P, der auf der Geraden g liegt und von der Ebene den Abstand 3 hat.
5. Die Ebene schneidet die Kugel K in einem Kreis k. Der Mittelpunkt und der Radius dieses Kreises ist zu berechnen.

Gegeben sind der Kreis und der Punkt .

1. Bestimme den Mittelpunkt M und den Radius r des Kreises k.
2. Wie lauten die Gleichungen der Tangenten, die vom Punkt P an den Kreis k gelegt werden können?
3. Die Betrachtung wird nun auf den 3-dimensionalen Raum erweitert. Gesucht ist die Gleichung der Kugel K, welche die Ebene berührt und die xy - Ebene im Kreis k schneidet.

Gegeben sind die Gerade g und die Kugel mit dem Mittelpunkt M.

1. Berechne den Radius der Kugel sowie den Beührungspunkt P der Gerade g an der Kugel.
2. Bestimme die Gleichung der Tangente h, welche senkrecht zur Geraden g steht und die Kugel im gleichen Punkt wie g berührt.
3. Ein Lichtstrahl geht von der Lichtquelle L aus in Richtung des Vektors . Der Lichtstrahl wird an der Kugel ideal reflektiert. Wo trifft der reflektierte Lichtstrahl auf die xz-Ebene?

Gegeben sind die Ebene und die Punkte und .

1. Wie gross ist der Schnittwinkel zwischen der Ebene E und der Geraden g durch die beiden Punkte A und M?
2. Wie gross ist der Abstand des Punktes M von der Ebene E?
3. Eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M schneidet die Ebene in einem Kreis mit Radius 9. Wie lautet die Gleichung dieser Kugel?
4. ist ein Punkt auf der Kugel K. Man berechne p sowie die Gleichung der Tangentialebene Et an K in P.
5. Welchen Flächeninhalt hat das Dreiecks AMP.
6. Wieviel misst die grösste mögliche Fläche eines Dreiecks AMQ, wenn der Punkt Q auf der Kugel liegen soll.

Ein Billiardtisch hat eine Spielfläche von 1 x 2 m. In allen Ecken und in der Mitte der Längsbanden befinden sich insgesamt 6 Löcher (vgl. Skizze). Die Löcher werden im Gegenuhrzeigersinn mit L1 bis L6 nummeriert. Jede Billiardkugel hat einen Durchmesser von 8 cm. In der Mitte des Tisches liegt die weisse Kugel. Die schwarze Kugel liegt in der rechten Tischhälfte (vgl Skizze). Betrachte für die folgenden Aufgaben das Problem als 2-dimensional und wähle den Nullpunkt in der Mitte des Tisches.

1. In welcher Richtung (Vektor) muss der Spieler die weisse Kugel anstossen, damit sie auf direktem Weg ins Loch L1 rollt? Gesucht ist die Koordinatengleichung der Geraden für den Stoss.
2. In welcher Richtung (Vektor) muss die weisse Kugel angestossen werden, damit sie via die obere Bande (zwischen L5 und L6) ins Loch L1 versenkt wird? Gesucht ist der Auftreffpunkt und Auftreffwinkel an der oberen Bande.
3. Die weisse Kugel soll so angestossen werden, dass sie (ohne Bandenberührung) die schwarze Kugel seitlich touchiert, ohne sie zu bewegen. Gesucht sind die Geradengleichungen der beiden möglichen Stösse.
   In der Mitte über dem Tisch wird ein Lampenschirm in Form eines geraden Kreiskegels aufgehängt. Sein oberer Öffnungswinkel ist 60 Grad. Die Glühbirne befindet sich in der Spitze des Lampenschirmes.
4. Wie hoch darf die Spitze der Lampe über dem Tisch hängen, damit gerade noch der ganze Lichtkegel auf dem Billiardtisch Platz hat?
5. Wieviele % der Tischfläche werden ausgeleuchtet, wenn die Lampenspitze 1.5 m über der Tischfläche hängt?

Von einem Zylinder kennt man die Achse und eine Tangente an die Zylinderoberfläche:

Gegeben sind die Punkte , , und die Gerade g durch die Punkte P und Q.

1. Es ist zu zeigen, dass der Punkt A nicht auf der Gerade g liegt.
2. Die Ebene E enthält den Punkt A und ist senkrecht zur Geraden g. Es ist zu beweisen, dass die Koordinatengleichung von E ist.
3. Eine zweite Ebene F ist gegeben als F: . Gesucht ist die Schnittgerade der beiden Ebenen.
4. Die Gerade g und die z-Achse sind windschief. Gesucht ist der kürzeste Abstand zwischen g und der z-Achse.
5. Gesucht sind die Koordinaten jenes Punktes C, der auf g liegt und von A den kürzesten Abstand hat.
6. Die Spitze S einer Pyramide mit der Grundfläche OAP (wobei O der Nullpunkt ist!) liegt auf der Geraden g. Bestimme die Koordinaten von S so, dass das Volumen der Pyramide 90 beträgt.

Das Dreieck , und ist die Grundfläche einer (schiefen) Pyramide mit der Höhe h = 6 cm.

1. Wie gross ist das Volumen der Pyramide?
2. Die Spitze D er Pyramide ist so zu bestimmen, dass die Seitenkante AD die Länge hat und mit der Grundkante AB einen Winkel von bildet.

Die drei Punkte , und sind die Grundfläche eines geraden Prismas. Die Ecke D der Deckfläche (D ist über dem Punkt A) liegt in der Ebene G: . Welches Volumen hat das Prisma?