Munterbunt

Bestimme die Parameter a und b der Geradengleichung $y = ax+ b$ so, dass die Gerade durch die Punkte $A( 7|9 )$ und $B( 4|5)$ geht.

Geradengleichung

Gesucht sind die Gleichungen der Geraden, welche durch den Punkt $P (2|- 1)$ gehen und die y-Achse unter einem Winkel von 22.5 $o$ schneiden.

Gegenseitige Lage

Gegeben sind die beiden Geraden

( ) ( ) -5 7 g : r (t) = 4 + t a 1 - 2

( ) ( ) 1 1 h : r(s) = 0 + s -1 0 -1

Für welchen Wert von $a$ schneiden sich die beiden Geraden? Gesucht sind ferner der Schnittpunkt und der Schnittwinkel.

Transversale

Gegeben sind die beiden Geraden

( ) ( ) 2 1 g : r (t) = -2 + t - 3 7 6

( ) ( ) 4 6 h : r(s) = 1 + s 0 6 1

Wie lang ist die Transversale zwischen den beiden Geraden, welche einen Abstand von 4 von der yz-Ebene befindet? (Nur eine Lösung)

Gegenseitige Lage von Geraden

Gesucht ist die gegenseitige Lage der Geraden g durch die beiden Punkte
$A( 0|- 1|10 )$ und $B( 5|9 |4)$ und der Geraden $( 8 ) ( 5 ) h : r (t) = 15 + t 10 -2 - 6$ .

Parameter bestimmen

Gegeben sind die Geraden g und h:

( ) ( ) 6 1 g : r(t) = 3 + t 0 1 -3

( ) ( ) 9 2 h : r(s) = a + s 1 0 -2

Für welchen Wert von a (a $(- IR$ ) schneiden sich die beiden Geraden?

Sich schneidende Geraden

Beweise, dass sich die Geraden g und h schneiden. Berechne den Schnittwinkel.

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 -1 g : r(t) = - 6 + t 2 h : r(s) = 1 + s 1 0 1 1 -2

Gerade schneidet Kugel

Gegeben ist eine Kugel mit dem Mittelpunkt $O( 0|0 |0)$ und dem Radius 6. Zudem eine Gerade durch die beiden Punkte $A(4 |7| -1)$ und $B(4 |-4 |10)$ . Berechne die Durchstosspunkte der Gerade durch die Kugel.

Einige Winkel

Gegeben sind die Gerade g, der Punkt P und der Vektor $v$ .

( ) ( ) ( ) - 5 2 1 g : r(t) = 3 + t -1 P (2|4 |1) v = 0 - 6 2 - 1

Berechne den Neigungswinkel der Geraden g gebenüber der xy-Ebene.
Stelle dir eine Ebene vor, die durch den Punkt P und die Gerade g definiert ist. Beweise, dass der Vektor $v$ senkrecht auf dieser Ebene steht.

Punkt um Gerade drehen

Gegeben ist die Gerade g und der Punkt P:

( ) ( ) 3 - 2 g : r(t) = 0 + t 1 P(9 |3|- 1) -1 2

Drehe den Punkt P um $180o$ um die Gerade g. Gesucht sind die Koordinaten des Bildpunktes P’.

Kurzaufgaben

Erkläre in einem Satz: Was bewirkt $t = 0$ in der Gleichung $r = rS + t.a$
Gib die Parametergleichung der z-Achse an.
Mache zwei unterschiedliche Aussagen über die gegenseitige Lage der Geraden g und h (ohne jegliche Rechnung) $( ) ( ) ( ) ( ) g : r(t) = 2 + t 3 h : r (s) = 2 + s 4 - 4 - 4 -4 3$
Gib die Parametergleichung der Gerade $10x- 5y+ 30 = 0$ an.
Gib die Parametergleichungen von 2 Geraden an, die beide durch den Punkt $P(1 |2|3)$ gehen und senkrecht aufeinander stehen.
Wie lauten die Koordinatengleichungen der Geraden (im 2D), die die x-Achse unter einem Winkel von $60o$ schneiden und durch den Punkt $P(4 |6)$ gehen?

Kürzester Abstand zweier Geraden

Gegeben sind die beiden Geraden

( ) ( ) 14 - 2 g1 : r (c) = - 4 + c 0 0 1

( ) ( ) -15 2 g2 : r(m) = 0 + m 1 -4 0

Wie lauten die Koordinaten der Endpunkte des kürzesten Abstandes der beiden Geraden?
Alle Punkte, welche von den beiden Ebenen den gleichen Abstand haben, liegen auf einer Ebene. Wie lautet eine Koordinatengleichung der Ebene?

Zwei Geraden

Es ist mit Vektoren zu beweisen, dass die Gerade g durch die Punkte $A( 3|2 |5)$ und $B(- 3|2 |7)$ und die Gerade h durch die Punkte $C(9 |2|3)$ und $D( 12|2 |2)$ die gleiche Gerade darstellen.

Schnittpunkt

Gegeben sind die beiden Geraden
$( -1 ) ( 2 ) g : r(t) = 0 + t 1 0 - 2$ und $( -4 ) ( - 1 ) h : r(s) = -6 + s 4 1 3$
Es ist zu zeigen, dass sich die beiden Geraden schneiden. Wie lauten die Koordinaten des Schnittpunktes?

Zwei Geraden

Gegeben sind die Punkte $A(- 1|2 |6)$ und $B(5 |6|2 )$ sowie die Gerade

( ) ( ) 4 -1 g : r(t) = 3 + t 1 6 -5

Es ist zu zeigen, dass die Gerade g und die Gerade h(AB) windschief sind.
Gesucht ist der Punkt C auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist, mit der Basis AB.

Rechtwinkliges Dreieck

Gegeben sind die Punkte $A(- 2|- 2|3 )$ und $B( 1|- 4|5)$ sowie die Gerade

( ) ( ) 5 0 g : r(t) = -2 + t 1 1 1

Es ist zu zeigen, dass für alle Punkte P auf g das Dreieck ABP rechtwinklig ist.

Kleinster Abstand

Gegeben sind die Punkte $O(0 |0|0 )$ und $P (2|2 |1)$ sowie die Gerade

( ) ( ) 0 1 g : r(t) = 1 + t 1 1 -1

Für welchen Punkt R der Geraden g ist der Winkel POR = $o 60$ ?
Welcher Punkt A der Gerade g hat von O den kleinsten Abstand?

Transversale

Gegeben sind die beiden Geraden

( ) ( ) ( ) ( ) u 0 2u 5 g : r (t) = 50 + t 1 h : r(s) = 49 + s 0 0 7 0 5

Für welche Werte von u sind g und h windschief?
Wie lang ist jene Transversale zwischen g und h, die in der xy-Ebene verläuft?
(In Abhängigkeit von u!)

Schneidend

Gegeben sind die Punkte $A(2 |-1 |-3 )$ und $B( 3|- 1|z)$ und die Gerade

( ) ( ) 1 1 g : r(t) = 3 + t 2 0 -1

Wie ist z zu wählen, damit sich g und h(AB) schneiden?