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Skalarprodukt

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Aufgaben

Winkel und Fläche
Die beiden Vektoren $( ) - 3 a = 0 1$ und $( ) 0 b = -2 3$ spannen ein Dreieck auf. Wie gross sind die Winkel des Dreiecks? Welche Fläche hat das Dreieck?

Blickwinkel
Von welchen Punkten der $x$ -Achse aus sieht man die Strecke $A( 2\|3 \|1)$ $B( 6\|- 9\|7 )$ unter einem rechten Winkel? Von welchen Punkten aus unter einem Winkel von $60o$ ?

Senkrecht
Gegeben sind die Punkte $A(0 \|0\|0 )$ , $B(3 \|0\|6 )$ , $C(1 \|6\|2 )$ und $D( 5- 2k \|1\|k )$ . Es ist zu zeigen, dass für alle k $(- IR$ die Vektoren $AB$ und $CD$ senkrecht aufeinander stehen.

Trapez
Von einem Trapez kennt man die Ecken $A( 2\|2)$ , $B(38 \|2)$ und $C( 27\|17 )$ sowie die Fläche $A = 420$ . (Achtung: Beschriftung im Gegenuhrzeigersinn, Parallelseiten AB und CD) Wie lauten die Koordinaten der Ecke D? Wie gross sind die 4 Innenwinkel des Trapezes?

Länge 9
Gegeben sind die beiden Vektoren: $( ) 2 a = 4 9$ und $( ) - 1 b = 8 13$ . Welcher Vektor $c$ mit der Länge 9 steht auf $a$ und auf $b$ senkrecht?

Reguläres Tetraeder
Es ist mit Hilfe des Skalarproduktes zu beweisen, dass bei einem regulären Tetraeder zwei Kanten ohne gemeinsame Punkte (windschief-)senkrecht aufeinander stehen.

Punkt im Polygon - Test
Liegt der Punkt $P(2.25\|0.75 \|3.25 )$ innerhalb der Dreiecksfläche mit den Eckpunkten $A( 2\|- 1\|3 )$ $B(4 \|5\|0 )$ $C(1 \|0\|7)$ ?

60°-Winkel
Gegeben sind die Punkte $A(- 2\|1 \|3)$ und $B( 1\| 1\|0)$ . Bestimme alle Punkte C in der xz-Ebene, so dass C die Entfernung BC gerade $V~ 2$ ist und der Winkel ABC $60o$ beträgt.

Ungleichung
Beweise: Für zwei beliebige Vektoren $a$ und $b$ gilt $(a.b)2 < a2b2$

Thaleskreis
Beweise mit Hilfe der Vektorrechnung die folgende Eigenschaft des Thaleskreises: Liegt ein einem Dreieck ABC der Punkt C auf dem Kreisbogen des Kreises mit dem Durchmesser AB, so ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel beim Punkt C.

Parallelogramm
Von einem Parallelogramm kennt man die Ecken $A( -3 \|5\|6 )$ und $B( 2\|- 1\|0 )$ sowie $D( -5 \|-6 \|-2 )$ . Berechne den spitzen Schnittwinkel der Diagonalen sowie den Flächeninhalt des Parallelogramms.