Munterbunt

Gleichschenklige und rechtwinklige Dreiecke

Übersicht > Analytische Geometrie / Vektorgeometrie > Räumliches Geodreieck > Verschiedenes > Gleichschenklige und rechtwinklige Dreiecke

Aufgabe

Von einem Dreieck kennt man die Ecken $A( 1|4 |2)$ und $B(5 |8|4 )$ . Ferner weiss man, dass die Ecke $C$ auf der Geraden $g$ durch die Punkte $P(- 3|6 |- 1)$ und $Q( 1|5 |1)$ liegt. Für welche Punkte $C$ auf der Geraden $g$

ist das Dreieck $ABC$ gleichschenklig mit Spitze $C$ ?
ist das Dreieck $ABC$ rechtwinklig mit Hypotenuse $AB$ ?

Lösung

Eine Parameterdarstellung der Geraden $g$ liefert für $C$ die Darstellung $C(- 3+ 4c |6- c |-1 + 2c )$ Nun lässt sich der Parameter $c$ so bestimmen, dass die beiden Schenkel des Dreiecks gleich lang sind oder dass der Höhenfusspunkt $Hc$ mit der Mitte der Basis $AB$ übereinstimmt. Man erhält $c = 2$ und $C( 5|4 |3)$ .
Bei den gesuchten Ecken handelt es sich um die Schnittpunkte der Geraden $g$ mit der Thaleskugel über der Strecke $AB$ . Die Berechnung erfolgt am einfachsten mittels des Skalarproduktes. $C (1 |5|1 ) 1$ und $C (5 |4|3) 2$