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Parallele Ebenen und ein Lichtstrahl

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Aufgabe

Gegeben ist die Ebene E: $2x - 2y - z- 12 = 0$ und die Ebene F durch die drei Punkte $A( 1|2 |4)$ , $B( 2|2 |6)$ und $C(3 |5|2 )$ . Zudem bekannt ist die Gerade g durch die Punkte $P (15|16 |13)$ und $Q( 1|2 |-1 )$ .

Zeige, dass die Ebenen E und F parallel sind.
Bestimme den Abstand der beiden Ebenen
Ein von P aus Richtung Q laufender Lichtstrahl wird an der Ebene E reflektiert. In welchem Punkt trifft der reflektierte Lichtstrahl auf die Ebene F?

Lösung

E: 2x-2y-z+6=0 und F: 2x-2y-z-12=0
d = 6; Verwendung der Hess’schen Normalform (HNF)
$G( -38| -21| -28)$
Zuerst Druchstosspunkt des Lichtstrahls durch die Ebene E berechnen. $R(- 12|- 11|- 14)$ . Anschliessend einen Punkt des Lichtstrahl an der Ebene E spiegeln, z.B. P liefert $P'(27|4 |7)$ . Gespiegelter Punkt und Durchstosspunkt bilden den gespiegelten Lichtstrahl. Diesen mit der Ebene F schneiden liefert die Lösung.