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Iteration und Rekursion

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Aufgaben

Rekursive und explizite Definition von Folgen
Die Folge $a1,a2,a3,...$ ist explizit definiert durch $1 2 2 an = 4n (n+ 1)$ Wie lautet eine rekursive Beschreibung dieser Folge? Die Folge $b1,b2,b3,...$ ist rekursiv definiert durch $b1 = 1$ $-----2----- bn = bn-1- 4n2 -8n + 3$ Wie könnte eine explizite Formel für diese Folge lauten und wie könnte die Vermutung bewiesen werden?

Rekursive und explizite Definition von Folgen
Die Folge $a1,a2,a3,...$ ist rekursiv definiert durch $a = -1--= 1 1 1.2 2$ $1 an = an-1 + n(n-+-1)$ Wie könnte eine explizite Formel für diese Folge lauten und wie könnte man die Vermutung beweisen?

Kreise, Kreise, Kreise
Gegeben sind $n$ Kreise in der Ebene, so dass sich je zwei Kreise paarweise in zwei Punkten schneiden, sich aber nie drei oder mehr Kreise in einem Punkt schneiden. In wieviele Gebiete wird die Ebene durch die Kreise aufgeteilt? Gesucht ist eine rekursive oder eine explizite Formel.

Unterteilung einer Ebene
$gn$ bezeichne die Anzahl der Gebiete, in welche die Ebene durch $n$ Geraden maximal zerlegt wird. Wie lautet eine rekursive, wie eine explizite Definition der Folge $g$ ?

Summe der geraden Kubikzahlen
Gesucht ist eine explizite Formel für die Summe $sn$ der ersten $n$ geraden Kubikzahlen $sn = 23 + 43 + 63 +...+ (2n)3$

Lineare Rekursion
Die Folge $F(0)$ , $F (1)$ , $F (2)$ , ... ist rekursiv definiert durch $F(n) = 2F (n - 1)+ 3F(n - 2)$ $F (0) = 7, F (1) = 13$ Gesucht ist eine explizite Formel für $F(n)$ .

Lineare Rekursion
Die Folge $F(1),F (2),F (3),...$ ist rekursiv definiert durch $F(1) = 12, F(2) = 19$ $F(n + 2) = F(n + 1) + 3F(n) 4$ Mit einem Rechnerprogramm sollen sukzessive die Glieder der Folge sowie die Summe $sum 50i=1 F(i)$ der ersten 50 Folgeglieder berechnet werden. Gesucht ist aufgrund der mit dem Programm ermittelten Anfangsglieder der Folge eine Näherungsformel, welche das langfristige Wachstum der Folge $F (n)$ beschreibt. Wie lautet eine explizite Formel für $F (n)$ ?

Lineare Rekursion
Die Folge $F(0),F (1),F (2),...$ ist rekursiv definiert durch $F(0) = 1, F(1) = 2, F(2) = 7$ $F(n +3) = F(n +2) +5F (n+ 1)+ 3F (n)$ Mit einem Rechnerprogramm sollen sukzessive die ersten Glieder der Folge berechnet werden. Wie könnte aufgrund der mit dem Programm berechneten Anfangsglieder eine Näherungsformel lauten, welche das langfristige Wachstum der Folge $F(n)$ beschreibt? Wie lautet eine explizite Formel für $F (n)$ ?