Munterbunt

Kreise, Kreise, Kreise

Übersicht > Folgen und Reihen > Iteration und Rekursion > Kreise, Kreise, Kreise

Aufgabe

Gegeben sind $n$ Kreise in der Ebene, so dass sich je zwei Kreise paarweise in zwei Punkten schneiden, sich aber nie drei oder mehr Kreise in einem Punkt schneiden. In wieviele Gebiete wird die Ebene durch die Kreise aufgeteilt? Gesucht ist eine rekursive oder eine explizite Formel.

Lösung

Rekursive Beschreibung:
Jeder bestehende Kreis wird von einem neuen Kreis in 2 Punkten geschnitten und jeder Schnittpunkt liefert ein neues Gebiet. Damit folgt

gn11 = gn + 2n

Explizite Formel:
Die Berechnung eines Anfangsstück der Folge liefert die Vermutung

gn = n(n - 1)+ 2

welche aufgrund der rekursiven Beschreibung leicht überprüft werden kann.