Munterbunt

Aufgabe dem Aufgabenblatt hinzufügen

Lineare Rekursion

Übersicht > Folgen und Reihen > Iteration und Rekursion > Lineare Rekursion

Aufgabe

Die Folge $F(0),F (1),F (2),...$ ist rekursiv definiert durch

F(0) = 1, F(1) = 2, F(2) = 7

F(n +3) = F(n +2) +5F (n+ 1)+ 3F (n)

Mit einem Rechnerprogramm sollen sukzessive die ersten Glieder der Folge berechnet werden.
Wie könnte aufgrund der mit dem Programm berechneten Anfangsglieder eine Näherungsformel lauten, welche das langfristige Wachstum der Folge $F(n)$ beschreibt?
Wie lautet eine explizite Formel für $F (n)$ ?

Lösung

-
Die Folge wächst exponentiell mit einem Wachstumsfaktor ungefähr gleich 3.
Ein Exponentialansatz $F (n) = aqn$ liefert für $q$ die Gleichung $3 2 q - q - 5q- 3 = 0$ und damit den Wachstumsfaktor $q = 3$ . Mit der zweiten Lösung $q = - 1$ folgt $3 n 1 n F(n) = 43 + 4 (- 1)$