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Spezielle Lösungsverfahren

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Aufgaben

Reduktion auf obere Dreiecksform
Ein lineares Gleichungssystem ist durch die Koeffizientenmatrix $\|_ _\| 2 1 0 0 \| 2 1 2 a 0 \| 1 \|_ 0 1 a 1 \| 4 _\| 0 0 a 2 \| 8$ gegeben. Die Methode der Gausselimination führt dieses Gleichungssystem in ein äquivalentes System über, dessen Koeffizientenmatrix unterhalb und oberhalb der Diagonale möglichst nur Nullen enthält. Wie lautet beim oben vorliegenden Gleichungssystem die Koeffizientenmatrix der reduzierten oberen Dreiecksform? Das oben vorliegende Gleichungssystem hat insofern eine spezielle Form, als ausserhalb der Diagonalen und der beiden Nebendiagonalen lauter Nullen stehen. Solche Koeffizientenmatrizen werden als tridiagonale Matrizen bezeichnet. Die Gausselimination für allgemeine $nxn$ -Gleichungssysteme benötigt Grössenordnung $n3$ Multiplikationen / Divisionen. Wieviele Multiplikationen / Divisionen werden ungefähr für tridiagonale Gleichungssysteme benötigt?

Reduktion auf obere Dreiecksform
Ein lineares Gleichungssystem ist durch die Koeffizientenmatrix $\|_ _\| 2 1 1 a \| 2 0 2 0 0 \| 1 \|_ 0 0 a 0 \| 4 _\| 0 0 0 2 \| 8$ gegeben. Mittels Gausselimination soll dieses Gleichungssystem in ein äquivalentes System übergeführt werden, dessen Koeffizientenmatrix unterhalb und oberhalb der Diagonale nur Nullen enthält. Wie lautet beim oben vorliegenden Gleichungssystem die Koeffizientenmatrix der reduzierten oberen Dreiecksform? Das oben vorliegende Gleichungssystem hat insofern eine spezielle Form, als abgesehen von der Diagonalen und der obersten Zeile lauter Nullen stehen. Solche Koeffizientenmatrizen werden als firstrow- Matrizen bezeichnet. Die Gausselimination für allgemeine $nxn$ -Gleichungssysteme benötigt Grössenordnung $n3$ Multiplikationen / Divisionen. Wieviele Multiplikationen / Divisionen werden ungefähr für firstrow- Gleichungssysteme benötigt? Begründung?