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Anzahl Lösungen in Abhängigkeit eines Parameters

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Wieviele Lösungen hat das untenstehende Gleichungssystem in Abhängigkeit des reellen Parameters $c$ ?

c.x + y + z = 1 x + c.y + z = 2 x + y + c .z = 3

Elimination von $x$ und $y$ liefert die Gleichung

c(c- 1)(c+ 2)z = 3c2

Genau eine Lösung: $c /= 0,1,- 2$
Keine Lösung: $c = 1,-2$
Unendlich viele Lösungen: $c = 0$