Munterbunt

Die Zahl $p$ lässt sich folgendermassen beliebig genau berechnen: Man betrachtet den sog. Einheitskreis, also den Kreis mit Radius 1. Der Umfang des Einheitskreises beträgt gerade $2p$ . Eine Berechnung des Kreisumfanges liefert also die Zahl $p$ . Der Kreisumfang lässt sich aber näherungsweise beliebig genau berechnen, indem man den Kreis durch regelmässige $n$ -Ecke annähert. Murphy stellt eine Formel auf für die Länge $sn$ der Seite eines solchen regelmässigen $n$ -Ecks. $n .sn$ liefert dann näherungsweise den Kreisumfang, also $2p$ . Murphy berechnet nun auf seinem Computer $n .sn$ für $n = 6,12,24,48,96,...$ und vergleicht seine Resultate mit dem Wert von $p$ aus einem Formelbuch. Und wirklich: die von ihm berechneten Näherungswerte für $p$ werden im genauer ..... aber plötzlich, bei $n = 3145728$ , passiert etwas Seltsames: Der berechnete Näherungswert wird Null. Was ist passiert?

Bisektionsmethode

Frau Siebenklug testet die Bisektionsmethode an der Funktion

f(x) = (x- 1)(x- 2)(x- 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x- 7)

mit den sieben offensichtlichen Nullstellen $x1 = 1,x2 = 2,...,x7 = 7$ . Da für $a < 1$ und $b > 7$ alle Nullstellen im Intervall $[a,b]$ liegen und $f(a)$ und $f(b)$ verschiedene Vorzeichen haben, testet Frau Siebenklug verschiedene solche Startintervalle $[a,b]$ . Zu ihrem Erstaunen stellt Frau Siebenklug fest, dass sie so nur vier Nullstellen berechnen kann. Welche drei Nullstellen wird Frau Siebenklug ausgehend von solchen Startintervallen nie erhalten und warum?

Sekantenverfahren

Das Sekantenverfahren stellt einen Kompromiss zwischen Bisektion und Newton-Iteration dar: Ausgehend von zwei Startwerten $x0$ und $x1$ legt man die Sekante durch die Punkte $(x0,f (x0))$ und $(x1,f(x1))$ . Schneidet man die Sekante mit der $x$ -Achse erhält man oft einen Näherungswert $x2$ für eine Nullstelle. Verfährt man mit $x1$ und $x2$ ebenso, erhält man $x3$ usw.

Wie lautet die Iterationsvorschrift für das Sekantenverfahren?
Wie lauten die ausgehend von den Startwerten $x0 = 2$ und $x1 = 3$ für die Funktion $2 f(x) = x -5$ mittels des Sekantenverfahrens berechneten Nährungswerte $x0$ , $x1$ , $...$ , $x4$ für die Nullstelle $V~ - 5$ ?

Berechnung von Quadratwurzeln unter Vermeidung von Divisionen

Die Quadratwurzel $V~ a$ aus einer positiven reellen Zahl $a$ lässt sich mittels der elementaren Grundoperationen Addition / Subtraktion und Multiplikation ohne Verwendung von Divisionen berechnen. Das Verfahren beruht auf der Bestimmung der Nullstelle $1/ V~ a-$ der Funktion

f (x) = 1- -a x2

mittels Newtoniteration. Anschliessende Multiplikation von $1/ V~ a-$ mit $a$ liefert den gesuchten Wert $V~ a-$ .

Wie lautet die Iterationsvorschrift $N (x)$ der Newtoniteration für die Funktion $f$ ? Gesucht ist ein Ausdruck für $N(x)$ , der keine Divisionen enthält.
(Hinweis: Multiplikation mit 0.5 bzw. Division durch 2 ist nicht als eigentliche Division zu betrachten. Im Binärsystem entspricht dieser Operation nur eine Stellenverschiebung.)
Wie sieht ein auf obigem Verfahren beruhendes Computerprogramm aus, das $V~ -- a$ mit Genauigkeit $-6 10$ berechnet. Verlangt ist der Programmcode und ein Test für $V~ - 9$ .
Welche Werte $x 0$ liefern als Startwerte $x 0$ bei der Newtoniteration die gewünschte Nullstelle?

Attraktoren bei der Newtoniteration

Die kubische Funktion

f(x) = 0.5x3- x+ 1

besitzt genau eine Nullstelle.

Wie gross ist der lokale Attraktor dieser Nullstelle?
Startwerte ausserhalb des lokalen Attraktors der einzigen Nullstelle können in zwei Klassen eingeteilt werden. Was für eine Vermutung kann aufgrund von Experimenten über diese beiden Klassen aufgestellt werden? Begründung?

Attraktoren bei der Newton-Iteration

Gegeben ist die kubische Funktion

f(x) = (x +2)(x- 1)2

Wie lautet die Iterationsvorschrift der Newton-Iteration?
Wie gross ist der lokale Attraktor der Nullstelle $x = 1$ ?
Für welche Startwerte $x0$ führt die Newton-Iteration nicht zu einer Nullstelle?

Zyklische Newtoniteration

Der Versuch ausgehend von $f(x) = x2 + 2$ mittels Newtoniteration $V~ --2$ zu berechnen scheitert. Die je nach Startwert entstehenden Iterationsfolgen $x0,x1,x2,...$ weisen aber ein interessantes Verhalten auf. Für welchen Startwert $x0$ , entsteht als Iterationsfolge ein Zweierzyklus $x0 = x1 = x0 = x1 = ...$ ?

``Newtonquer''-Iteration

Das Newtonsche Näherungsverfahren zum Bestimmen der Nullstellen kann man verändern, in dem man anstelle der Tangente in einem Kurvenpunkt $(x0 |f(x0))$ die Normale zur Tangente zeichnet. Die $x$ -Koordinate des Schnittpunktes der Normalen mit der $x$ -Achse liefert analog zur Netwoniteration den nächsten Iterationswert $x1$ . Wiederholtes Iterieren liefert dann eine Iterationsfolge $x0$ , $x1$ , $x2$ , $x3$ , $...$ .

Wie lautet die Iterationsvorschrift der “Newtonquer-Iteration”?
Wie lauten die ersten 5 Werte der Iterationsfolge für die Funktion $f (x) = sinx$ ausgehend vom Startwert $x0 = p/6$ ?
Ein Fixpunkt einer solchen Iteration ist ein Wert , der sich im nächsten Iterationsschritt nicht mehr verändert. Bei der klassischen Newtoniteration sind die Nullstellen gerade Fixpunkte.
1. Warum sind die Nullstellen auch Fixpunkte der Newtonquer-Iteration? Warum eignet sich aber die Newtonquer-Iteration trotzdem nicht zur Bestimmung der Nullstellen?
2. Welche weiteren Kurvenpunkte sind ebenfalls Fixpunkte der Newtonquer-Iteration und können in vielen Fällen mit der Newtonquer-Iteration näherungsweise sehr elegant bestimmt werden?

Anzahl Lösungen

Wieviele Lösungen hat die Gleichung

tan 1000x = 3x2

Numerische Verfahren