Munterbunt

Zyklische Newtoniteration

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Aufgabe

Der Versuch ausgehend von $f(x) = x2 + 2$ mittels Newtoniteration $V~ --2$ zu berechnen scheitert. Die je nach Startwert entstehenden Iterationsfolgen $x0,x1,x2,...$ weisen aber ein interessantes Verhalten auf. Für welchen Startwert $x0$ , entsteht als Iterationsfolge ein Zweierzyklus $x0 = x1 = x0 = x1 = ...$ ?

Lösung

Iterationsvorschrift:

( ) 1 2-- xn+1 = 2 xn - xn

Für einen Zweierzyklus ergibt sich aus der Symmetrie der Parabel die Bedingung $x = - x 1 0$ und damit die Werte $x = ± V~ 2/3$ .