Munterbunt

Lösen von Gleichungen

Welche Lösungen haben die folgenden Gleichungen?

$(x+ 1)(2x+ 3) = 4x2 -22$
$3 2 3y - 2y + y = 0$
$t8 = 5- 4t4$

Quadratische und verwandte Gleichungen

Welche Lösungen haben die folgenden Gleichungen?

$112x2 + 111x -100 = 0$
$2 t - 21 = 4t$
$x2- px + 3 = 0$
$( V~ - )2 V~ - x2 + 2- 2 x +1.5- 2 = 0$
$V~ ------ V~ ------ 5s- 6- 3s+ 3- 1 = 0$
$7x4 + 8x2 +1 = 0$
$2 x1+1 + x1-1 = xx2+-11-$
$4 2 3u - 5u +6 = 0$
$V~ x-+ V~ 1-= x - 1 x x$
$x2- ax - 6a2 = 0,x =?$

Quadratische und verwandte Gleichungen

Welche Lösungen haben die folgenden Gleichungen?

$2.5z2 - 3z + 0.2 = 0$
$2 49x + 92x + 49 = 0$
$3(x2 +2) - x(x + 9) = 11$
$x3 + 19 = (x + 4)3$
$x-0.5 1 x+1.5- x+0.5 - x = x-1.5$
$x3- 2163-= 19 x$
$V~ ------ 2x- 3- V~ 2xx--3 = 1$
$V~ -- 6x- x = 1$

Lösen von Gleichungen

Gesucht sind alle Lösungen der folgenden Gleichungen:

$2x1-2 + x = 3x1-3$
$V~ --------- V~ ---- x+ 9 - 11 x - 7 = 4$

Gleichungen und Faktorzerlegung

Welche Lösungen hat die Gleichung $V~ x-+-2 = 1 - x$
Wie lautet die Faktorzerlegung von $x2 + 5x+ 7$
Welche Lösungen hat die Gleichung $x x 3 --+ -----= ------ 2 2 x- 3 x -3$

Quadratische Gleichungen

Wie lauten alle exakten, reellen Lösungen von $2x4- x2 - 28 = 0$ ?
Für welche Werte des Parameters $a$ hat die Gleichung $2 x + 3ax + 4a + 1 = 0$ genau eine Lösung?

Quadratische Gleichungen mit Parametern

Für welche Werte des Parameters $p$ hat die untenstehende Gleichung zwei reelle Lösungen? $px2- x+ 3 = 0$
Für welche Werte des Parameters $a$ hat die untenstehende Gleichung keine Lösungen? $ax2- 2ax + a+ 1 = 0$
Für welche Werte des Parameters $c$ fallen die Lösungen der untenstehenden Gleichung zusammen? $2 x - (c + 2)x + 1 = 0$

Anzahl Lösungen einer quadratischen Gleichung

Für welche Werte des Parameters $c$ besitzt die untenstehende Gleichung Lösungen? $x2 + 2cx + 4 = 0$
Für welche Werte des Parameters $t$ hat die untenstehende Gleichung genau eine Lösung? $x2 + t(x + 1)+ 3 = 0$

Gleichungen mit Parametern

Für welche Werte des Parameters $p$ hat die untenstehende Gleichung keine Lösungen?

(x- p)2 = 9x

Allerlei zu quadratischen Gleichungen

Wie lautet die gekürzte Form des Bruches $3s2 + 7s- 20 4s2 +-25s+-36$
Für welchen Wert des Parameter $p$ hat die Gleichung $2 x + px + 63 = 0$ als eine Lösung $x1 = 0.015$ ?
Wie lauten möglichst exakte Werte der Lösungen von $100x2 - 1012x - 0.0001 = 0$ ?

Stimmt's oder stimmt's nicht?

Gegeben ist die quadratische Gleichung $x2 + px + q = 0$ . Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Begründung?

Falls $q < 0$ , so hat die Gleichung immer zwei Lösungen.
Ändert man sowohl bei $p$ als auch bei $q$ das Vorzeichen, so bleibt die Anzahl der Lösungen der Gleichung gleich.
Ist $p$ und eine der beiden Lösungen ganzzahlig, so ist auch die zweite Lösung eine ganze Zahl.
Quadratische Gleichungen haben als “Bilder” Parabeln. Berührt diese Parabel die $x$ -Achse, so gilt entweder $V~ - p = 2 q$ oder $V~ - p = -2 q$ .

Streitpunkt p und q

In einer mathematischen Runde behauptet A. K. , der Wert des Koeffizienten $p$ in der quadratischen Gleichung $x2 + px + q = 0$ habe in der Regel einen grösseren Einfluss auf die Anzahl Lösungen als der Wert des Koeffizienten $q$ . Stimmt die Behauptung von A. K. ? Begründung?

Quadratische Gleichungen

Löse die quadratische Gleichung...

...symbolisch durch quadratisch Ergänzen: $- x2 +12x - 36 = - 25$
...symbolisch durch quadratisch Ergänzen: $2 9x + 12x+ 4 = 0$
...mit der Auflösungsformel: $(6.2---2x)2 3.2 = -19$

Auflösungsformel für normierte quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung der Form $x2 + ux + v = 0$ mit $u,v (- IR$ nennt man normierte quadratische Gleichung. Leite eine Formel her, mit der durch Einsetzen der Werte von u und v die Lösungen berechnet werden können.

Quadratische Gleichungen

Löse die folgenden Gleichungen nach x auf und gib die Lösungsmenge an:

$V~ -- V~ - 12( x- 17)2 + 125( x - 17) -8 = 0$
$5 3 4x - 17x +4x = 0$

Lösen von Gleichungen

Wie lauten die Lösungen der untenstehenden Gleichungen

$215x2- 16x + 19 = 0$
$2 (2x+ 1) + 8x = -8$
$(y2- 21y + 20)(5y2- 8y+ 4)= 0$
$x2- ax = 2a- 2x$

Standardaufgaben