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Gerade und Kreis abbilden

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Aufgabe

Gegeben ist die komplexe Funktion $w = f (z) = (4 + 2i)z$ sowie die Gerade $g : y = x$ und der Kreis $V~ 1 k :|z + 1|= 2$ in der Gauss’schen Ebene.

Bestimme die Bilder $g'$ und $k'$ die bei der Abbildung der Gerade $g$ resp. des Kreises $k$ mit der Funktion $f(z)$ entstehen.
Beweise: Die Gerade $g$ berührt den Kreis $k$ und $g'$ berührt $k'$ .

Lösung

$g': v = 3u$ ; $V~ -- k':|w + (4 + 2i)|= 10$
Die Kreisabbildung erhält man am einfachsten, wenn man zuerst den Mittelpunkt mit der gegebenen Funktion abbildet und anschliessend den Radius mit dem Streckungsverhältnis berechnet. Dies funktioniert, weil es sich bei der (linear komplexen) Abbildung um eine Ähnlichkeitsabbildung handelt.
Der Beweis wird am einfachsten mit der Hess’schen Normalform geführt.