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Abbildungsgeometrie

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Aufgaben

Ergänzung eines Quadrates
Vom Quadrat $ABCD$ kennt man die Ecken $A( 0\|0 )$ und $B( 2\|3)$ . Welche Koordinaten haben die Ecken $C$ und $D$ ?

Abbildung einer Kurve
Gegeben ist die Menge $C$ aller Punkte $(x \|y)$ in der Ebene, welche die Gleichung $x2 + 2xy+ y2- 8 = 0$ erfüllen. Wie lautet die Gleichung der Bildmenge $C-$ nach der Rotation um $(0\|0 )$ um den Winkel $a = - 45o$ ? Welche Punktmenge in der Ebene stellt $C$ dar?

Spiegelung an einer Ebene
Gegeben ist im Raum die erstprojizierende Ebene durch die Punkte $(0 \|0\|0 )$ und $(1 \|1\|0 )$ . Welche Matrix beschreibt die Spiegelung an dieser Ebene?

Abbildungen der Ebene
Durch die Matrizen $( ) k 1 - k k - 1 2 - k$ werden für beliebige reelle Werte des Parameters $k$ Abbildungen $f k$ der Ebene beschrieben. Für welche Werte von $k$ liegt das Bild des Punktes $P (-1 \|0)$ auf der $x$ -Achse? Welche Fixpunkte haben die Abbildungen $fk$ ? (Fixpunkte:= Punkte, die bei der Abbildung unverändert bleiben) Für welche Werte von $k$ besitzt $f k$ eine Umkehrabbildung, d. h. kann die Abbildung $f k$ rückgängig gemacht werden?

Lineare Abbildungen
Spiegelungen an Geraden durch den Nullpunkt $(0 \|0)$ werden durch Matrizen der Gestalt $( ) cosa sina sina -cosa$ beschrieben. Welche Steigung hat die Gerade in Abhängigkeit des Winkel $a$ ? Hinweis: Die folgende Formel ist unter Umständen hilfreich: $2(a-) 1--cosa- tan 2 = 1+ cosa$

Rotation eines Dreiecks
Wie lauten die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks $A(4 \|0)$ , $B(8 \|2)$ $C( 6\|7 )$ nach Drehung um $M (2 \|3)$ um den Winkel $a = 57o$ im Gegenuhrzeigersinn?