Ein Spieler wirft einen Würfel. Für eine gerade gewürfelte Zahl gewinnt er die erwürfelte Augenzahl in Euro. Bei einer ungeraden Zahl muss er entsprechend bezahlen. Ist das Spiel günstig oder ungünstig für ihn? Begründung?

Mit zwei verschiedenen Würfeln wird folgendes Spiel veranstaltet: Nach einem Einsatz von 2 Euro wird einmal mit beiden Würfeln geworfen. Erscheint ein Pasch (zwei gleiche Zahlen), dann erhält man 5 Euro. Würfelt man eine Augendifferenz von 5 Punkten, dann werden sogar 10 Euro ausbezahlt. Bei einer Augendifferenz von 1 Punkt erhält man seinen Einsatz zurück. Wie gross ist der Erwartungswert? Bei welchem Einsatz wäre das Spiel fair?

Ein Fünfliber hat bekanntlich auf einer Seite ein Schweizerwappen und auf der anderen das Bild eines Alphirten. Der Fünfliber wird maximal 4 Mal geworfen. Erscheint der Alphirte, so ist das Spiel beendet und es wird nicht mehr weiter gewürfelt. Es werden folgende Gewinne ausbezahlt: 4 Schweizerwappen zahlen 5 Franken, 3 Schweizerwappen 2 Franken und 1 Wappen 1 Franken. Welchen Einsatz muss der Veranstalter des Spiels verlangen, damit er pro Spiel mit 50 Rappen Gewinn rechnen kann?

In einer Urne befinden sich 3 schwarze und 7 weisse Kugeln. Gleichfarbige Kugeln lassen sich nicht unterscheiden.

1. Es werden nacheinander 5 Kugeln gezogen und sofort nach dem Ziehen wieder in die Urne gelegt. Mit wie vielen weissen Kugeln kann gerechnet werden?
2. Es werden mit einem Griff zufällig 3 Kugeln aus der Urne genommen. Bei 3 schwarzen erhält man 10 Euro. Bei zwei schwarzen Kugeln nichts und bei einer schwarzen Kugel muss man 5 Euro bezahlen. Zieht man nur weisse Kugeln, so darf man nochmals mit einem Griff 3 Kugeln (der in der Urne verbliebenen) ziehen. Ist wiederum keine schwarze Kugel dabei, so bekommt man nichts, ansonsten gleich wie beim ersten Zug. Wie gross ist die Gewinnerwartung des Spielers? Wie müsste die Einzahlung bei einer schwarzen Kugel angesetzt werden, damit das Spiel fair ist?

Ein Spieler kann für einen Einsatz von 1 Euro eine der Zahlen von 1-6 tippen. Anschliessend wirft er 3 unterscheidbare Würfel. Wenn mindestens einer der Würfel die getippte Zahl zeigt, so erhält er seinen Einsatz zurück. Zusätzlich bekommt er pro Würfel, der seine getippte Zahl zeigt einen Euro ausbezahlt. Erscheint seine Zahl auf keinem Würfel, so verfällt sein Einsatz. Welcher Gewinn kann erwartet werden?

Ein Würfel wird so lange geworfen, bis entweder eine 6 erscheint oder viermal nacheinander keine 6. Wie viele Würfe sind zu erwarten?

Eines der folgenden fünf Wörter wird zufällig gezogen:
DER ZUFALL REGIERT DIE WELT
Gesucht sind die Erwartungswerte für...

1. ...die Anzahl der Buchstaben des gezogenen Wortes.
2. ...die Anzahl der Vokale des gezogenen Wortes.
3. ...die Anzahl der Buchstaben E des gezogenen Wortes.

Jedesmal, wenn der Mathematik-Professor eine Gruppe von fünf Personen trifft, wettet er um hundert Euro, dass mindestens zwei von diesen fünf Personen im gleichen Monat Geburtstag haben. Welches ist der mittlere Gewinn oder Verlust bei diesem Spiel?

Ein Schweizer Jasskart (36 Karten) wird gleichmässig auf die drei Spieler A, B und C aufgeteilt. Die Zufallsvariable X gebe an, wieviele der 4 Bauern der Spieler A erhält. Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X aus? Mit wievielen Bauern kann der Spieler A rechnen?

Paul, der Schulhausabwart , muss im Dunkeln eine verschlossene Türe öffnen. Er greift zu seinem Schlüsselbund, an dem 10 Schlüssel hängen, von denen nur einer passt. In einem solchen Fall wendet er üblicherweise eines der folgenden Vorgehen an:

• Vorgehen 1: Er geht der Reihe nach alle 10 Schlüssel durch.
• Vorgehen 2: Er nimmt höchstens 10 mal zufällig einen der Schlüssel und versucht ob er passt, dabei kann es natürlich sein, dass er es mehrere Male mit dem gleichen Schlüssel versucht. Passt der Schlüssel auch beim 10. Versuch nicht, so ärgert er sich kräftig und lässt die Tür zu.

Mit wievielen Versuchen muss er bei den beiden Vorgehensweisen rechen?

An einem Jodlerfest werden Lose zum Verkauf angeboten, von denen 30% gewinnen und 70% Nieten sind. Ein Mann will so oft ein Los kaufen, bis er eines erwischt, mit dem er gewinnt - höchstens aber 5 Stück. Mit welcher Ausgabe muss er im Mittel rechnen, wenn jedes Los 2 Euro kostet?

Eine Schweizer Zeitschrift veröffentlicht wöchentlich ein Kreuzworträtsel. Unter den Einsendern des richtigen Lösungswortes wird jede Woche ein Preis zu 1000 Franken, vier Preise zu 300 Franken und 200 Preise zu 20 Franken verlost.

1. Welcher Gewinnbetrag kann im Mittel erwartet werden, wenn man von 10000 richtig eingegangenen Lösungen ausgeht?
2. Wie viele Lösungen müssten eingehen, damit der zu erwartende Gewinn gerade dem Porto der Postkarte 0.85 Franken entspricht?

Ein Spiel beginnt mit einem Anfangseinsatz von 9 Euro. Es wird zweimal hintereinander eine Münze geworfen. Jedesmal wenn Kopf erscheint, wird das Startkapital verdreifacht, ansonsten wird es gedrittelt. Wieviel Geld wird am Schluss im Mittel vorhanden sein?

Für eine Haftpflichtversicherung ist es wichtig auszuwerten, wie viele Schadenfälle pro Versichertem auftreten. Die Erfahrung hat gezeigt, dass in den letzten Jahren 80% keinen Schaden gemeldet hatten. 15% meldeten einen, 3% zwei, 1% meldete drei und 1% vier Schadenfälle an. Mit wievielen Schadensfällen muss die Versicherung in den nächsten Jahren pro Versichertem im Mittel rechnen?

In den Eishockeyplayoff spielen 2 Mannschaften so oft gegeneinander, bis eine der beiden 3 Spiele für sich entschieden hat (Unentschieden gibt es nicht). Mit wievielen Spielen ist im Mittel zu rechnen, wenn man davon ausgeht, dass beide Mannschaften gleich stark sind?

In einer Finalserie spielen die beiden Mannschaften A und B so oft gegeneinander, bis eine der beiden 5 Siege auf seinem Konto hat. Es gibt keine Unentschieden. Beim Stand von 3 : 2 für die Mannschaft A muss die Finalserie wegen einem Streik der Billetverkäufer abgebrochen werden. Die beiden Mannschaften einigen sich, dass der Siegerpreis unter ihnen analog zu den Chancen, die sie gehabt hätten die Serie zu gewinnen, unter ihnen aufgeteilt werden soll. Wie gross sind diese Chancen für die beiden Mannschaften? Wie viele Spiele wären noch zu erwarten gewesen?

Im Prospekt gibt eine Herstellerfirma den Benzinverbrauch ihres Kleinwagens mit 4.8 Liter pro 100 Km an. Eine Automobilzeitschrift testet den Wagen und misst folgende Werte:

Die Zahlen 1-4 werden zufällig angeordnet. Für jede Zahl, die an der richtigen Stelle steht wird ein Euro Gewinn ausbezahlt. Welcher Gewinn darf erwartet werden?

Stimmt die Behauptung, dass bei einer Familie mit 4 Kindern die mittlere Anzahl der Jungen und Mädchen übereinstimmt, wenn man weiss, dass die ’experimentelle’ Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen bei p = 0.514 liegt.

Der Spieler A besitzt 10 Karten, unter denen sich genau ein As befindet. Er mischt die Karten und lässt anschliessend Spieler B solange Karten ziehen, bis das As erscheint. Er scheint das As im 1. Zug, so muss A an B 7 Euro zahlen. Im 2. Zug noch 6 Euro, im 3. 5 Euro ... im 7. Zug 1 Euro. Kommt das As erst im 8., 9. oder 10. Zug, so muss B an A 8, 9 oder 10 Euro bezahlen. Ist dieses Spiel fair?
Wir viele Züge sind durchschnittlich erforderlich, bis das As erscheint?

Beim Würfelspiel ’2 & 12’ werden zwei Würfel gleichzeitig geworfen. Die Bank zahlt dem Spieler das Zehnfache der Augenzahl aus, sofern er 2 oder 12 würfelt. Erscheint die Augenzahl 3 oder 11, so erhält er das Fünffache. Für die Augen 4 oder 10 noch das Doppelte. Bei den Augensummen 5 bis 9 wird soviel ausbezahlt, wie gewürfelt wurde.
Welchen Einsatz muss die Bank mindestens verlangen, damit sie längerfristig keinen Verlust macht?