Munterbunt

Immer wieder Urnen und Kugeln

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In einer Urne befinden sich 3 schwarze und 7 weisse Kugeln. Gleichfarbige Kugeln lassen sich nicht unterscheiden.

Es werden nacheinander 5 Kugeln gezogen und sofort nach dem Ziehen wieder in die Urne gelegt. Mit wie vielen weissen Kugeln kann gerechnet werden?
Es werden mit einem Griff zufällig 3 Kugeln aus der Urne genommen. Bei 3 schwarzen erhält man 10 Euro. Bei zwei schwarzen Kugeln nichts und bei einer schwarzen Kugel muss man 5 Euro bezahlen. Zieht man nur weisse Kugeln, so darf man nochmals mit einem Griff 3 Kugeln (der in der Urne verbliebenen) ziehen. Ist wiederum keine schwarze Kugel dabei, so bekommt man nichts, ansonsten gleich wie beim ersten Zug. Wie gross ist die Gewinnerwartung des Spielers? Wie müsste die Einzahlung bei einer schwarzen Kugel angesetzt werden, damit das Spiel fair ist?

$P = 5.0.7.0.34 = 0.02835 (1xw)$ $( ) P = 5 .0.72 .0.33 = 0.1323 (2xw) 2$
$( ) P = 5 .0.73 .0.32 = 0.3087 (3xw) 3$ $( ) P = 5 .0.74 .0.3 = 0.36015 (4xw) 4$
$P(5xw) = 0.75 = 0.16807$
$E = 0.02835 + 0.1323.2 + 0.3087.3 + 0.36015.4 +0.16807.5 = 3.5$ weisse Kugeln
1. Zug:
$( ) ( ) 3 . 7 P(3xs) = --3(----)0---= -1- 10 120 3$ $( ) ( ) 3 . 7 P(1xs) = --1(----)2---= 21 10 40 3$
$( ) ( ) 3 . 7 ---0------3-- 7- P(3xw) = ( 10) = 24 3$
2. Zug:
$( ) ( ) 3 4 --3---.--0--- -1 P(3xs) = ( 7) = 35 3$ $( ) ( ) 3 4 --1---.--2--- 18- P(1xs) = ( 7 ) = 35 3$
$E = -1-.10 - 21-.5+ -7(1- .10- 18.5)= -77 ~~ -3.208 120 40 24 35 35 24$ Euro (Verlust!)
$E = -1-.10 - 21-.x+ -7(1--.10- 18.x)= 0 120 40 24 35 35$ liefert $x = 20 ~~ 0.2469 81$ Euro