Munterbunt

Eindimensionale Irrfahrten

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Aufgabe

Ein Teilchen bewegt sich auf der Zahlenachse wie folgt: Es startet im Nullpunkt und springt jede Sekunde mit Wahrscheinlichkeit 0.92 eine Einheit nach rechts bzw. mit der Wahrscheinlichkeit 0.08 eine Einheit nach links.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen nach $n$ Sekunden bei der Marke $n - 2$ ist? Für welchen Wert von $n$ ist diese Wahrscheinlichkeit am grössten?
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen nach $n$ Sekunden bei der Marke $n - 4$ ist? Für welchen Wert von $n$ ist diese Wahrscheinlichkeit am grössten?

Lösung

Marke $n- 2$ : genau ein Schritt nach links
$( ) n1 0.92n-1 .0.08 = 0.08.n .0.92n-1$
12 Schritte
Analoges Vorgehen liefert $n- 2 0.0032 .n(n - 1).0.92$
24 oder 25 Schritte.