Eine Lieferung von Kugelschreiberminen darf höchstens einen Anteil von 10% defekten Minen haben. Zum Testen der Lieferung werden 100 Minen untersucht.

1. Ab welcher Anzahl defekter Minen muss die Lieferung zurückgewiesen werden, wenn auf dem üblichen 5% Signifikanzniveau getestet wird?
2. Wie gross ist der Fehler 1. Art, wenn in der Stichprobe höchstens 16 unbrauchbare Minen zugelassen werden?
3. Wie gross ist die Macht des in der obigen Teilaufgabe beschriebenen Testverfahrens, wenn die Lieferung einen tatsächlichen Ausschussanteil von 20% enthält?

Bei einem Test werden einer Kandidatin 20 Fragen gestellt, die sie nur mit JA oder NEIN beantworten muss. Wie viele Fragen muss die Kandidatin mindestens richtig beantworten, damit auf dem 5%-Signifikanzniveau davon ausgegangen werden kann, dass die richtigen Antworten auf Wissen und nicht auf Raten basieren?

Die Verwaltung hat beschlossen für ihre Mitarbeitern 400 Memory Sticks zu beschaffen, damit der Datenaustausch effizienter gestaltet werden kann.
Der Hersteller garantiert maximal 4% defekte Sticks. Für die Entscheidung, ob die Lieferung der Qualitätsangabe genügt oder nicht, wird folgendes Testverfahren vereinbart:
Es werden der Lieferung 20 Sticks entnommen, ist darunter höchstens ein Stick defekt, so wird die Qualität der Lieferung als gut erachtet, ansonsten wird die ganze Lieferung zurückgewiesen.

1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine qualitativ gute Lieferung auf Grund des Tests nicht akzeptiert wird?
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit akzeptiert die Verwaltung die Lieferung, obwohl sich total 20 defekte Sticks darin befinden?

Für eine Untersuchung werden 10 Personen, die an chronischen Schlafstörungen leiden, zufällig ausgewählt. Jeder Patient bekommt eine Woche lang ein erstes Schlafmittel (Nr. 1) und anschliessend eine Woche lang ein zweites Schlafmittel (Nr. 2). Nach Abschluss der Therapie wird jeder Patient befragt, in welcher Woche er besser geschlafen habe. Wie viele Patienten müssten mindestens behaupten mit dem Mittel Nr. 1 besser geschlafen zu haben, damit dieses signifikant besser ist als das Mittel Nr. 2?

Der Hersteller des Haarwuchsmittels ’Wonderhair’ behauptet, dass sein Produkt in mindestens 60% aller Fälle wirksam ist. Ein Forschungsinstitut will mit 100 Teilnehmern ’Wonderhair’ testen. Bei wievielen der Testpersonen muss ’Wonderhair’ wirksam sein, damit der Werbung des Herstellers (signifikant) geglaubt werden kann?

Bei einer umfangreichen Lieferung von Stromschaltern an einen Elektromarkt behauptet der Lieferat, dass bei seinen Schaltern höchstens 6% defekt sind. Der Elektromarkt macht die Annahme der Lieferung von einer Stichprobe von 200 Stück abhängig, bei der höchstens 15 Schalter defekt sein dürfen.

1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei diesem Verfahren eine Lieferung abgelehnt, obwohl sie eigentlich in Ordnung ist?
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Lieferung angenommen, obwohl sich darin effektiv 8% defekte Schalter befinden?

Bei einem Multiple-Choice-Test stehen pro Frage 3 Antworten zur Auswahl, von denen jeweils genau eine richtig ist. Der Test umfasst insgesamt 8 Fragen. Der Test ist bestanden, wenn höchstens 2 Antworten falsch sind.

1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt jemand der nur ratet bei genau der Hälfte der Fragen eine korrekte Antwort?
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht eine ratende Person den Test?
3. Welche Chance zum Bestehen des Testes hat eine Person, die bei jeder einzelnen Frage genau die verlangte Erfolgsquote von 75% besitzt?
4. Eine Kandidatin hat sich sehr gut vorbereitet und kann jede Frage mit 90% Wahrscheinlichkeit richtig beantworten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit scheitert sie trotzdem beim Test?
5. Die Leitung des Tests beabsichtigt die Fragenzahl auf 15 zu erhöhen (mit immer noch 3 Antwortmöglichkeiten pro Frage). Wo müsste man die Mindestanforderung ansetzen, wenn von 100 nur ratenden Personen im Mittel höchstens eine den Test besteht?

Die Fähigkeit zur aussersinnlichen Wahrnehmung soll durch das folgende Experiment getestet werden: Aus 5 verschiedenen Karten wird eine Karte zufällig ausgewählt. Die Versuchsperson erhält die Aufgabe, die ausgewählte Karte zu identifizieren, ohne sie gesehen zu haben. Das Experiment wird mehrfach wiederholt, wobei die ausgewählte Karte zurückgelegt wird.

1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person durch blosses Raten in 10 Versuchen höchstens 2 Karten richtig identifiziert?
2. Erreicht eine Person in 10 Versuchen mindestens 4 Treffer, so will man ihr besondere Begabung zuschreiben. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man einer nur ratenden Person irrtümlich besondere Begabung zuschreibt?
3. Eine andere Person behauptet, dass sie die besondere Begabung habe, eine zufällig ausgewählte Karte mit der Wahrscheinlichkeit 0.5 zu treffen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person beim oben beschriebenen Test scheitert, obwohl sie die behauptete Fähigkeit durchaus besitzt?
4. Um das Fehlerrisiko zu verkleinern wird der Versuch 20 Mal wiederholt. Wie lautet die Entscheidungsregel, wenn einer Testperson ohne besondere Begabung, die also nur rät, mit einem Risiko von höchstens 5% eine besondere Fähigkeit zugeschrieben wird?

Für eine physikalische Grösse sollen eine mechanische und eine optische Messmethode verglichen werden. Es wurden gesamthaft 60 Messungen durchgeführt, jeweils mit beiden Methoden. Beim Vergleich der paarweise zusammengehörenden Werten ergeben sich 24 Minuszeichen und 36 Pluszeichen. Die Nullhypothese lautet: Beide Verfahren liefern die gleiche Qualität, die Unterschiede sind nur zufälliger Art. Wie lautet die Entscheidung, wenn mit 5%-Signifikanz ein zweiseitiger Test durchgeführt wird?

Es wurde an 13 Versuchspersonen untersucht, ob ein neues Medikament zur Senkung des Blutdruckes erfolgreich ist oder nicht. Dazu wurden unmittelbar vor und zwei Stunden nach der Einnahme des Präparates der Blutdruck (in mm Hg) gemessen. Die folgende Tabelle enthält die Ergebnisse:

Der Besitzer einer Hühnerfarm möchte das Gewicht seiner Hühner erhöhen. Zu diesem Zweck mischt er bei 20 zufällig ausgewählten Hühnern während einer bestimmten Zeitspanne einen entsprechenden Futtermittelzusatz ins Fressen.
Die ’technischen’ Daten (in Gramm) der Testhühner sind in der untenstehenden Tabelle zusammengefasst. Lässt sich statistisch eine signifikante Zunahme des Gewichtes erkennen? Begründung?

In einer Bäckerei werden seit Jahrzehnten die Weihnachtsguetzli (Schweizer Weihnachtsgebäck) noch von Hand hergestellt. Pro Tag werden 10’000 Mailänderli hergestellt und in Säcklein von 30 Stück abgefüllt. Erfahrungsgemäss sind 2% der Guetzli missraten, weil ihnen entweder beim Ausstechen oder beim Abfüllen in die Säcklein eine Ecke abbricht. Sind in einem Säcklein zuviele missratene Guetzli, dann ist der Kunde nicht zufrieden und unzufriedene Kunden schädigen den Ruf der Bäckerei. Um das zu verhindern soll jeden Tag ein Säcklein auf missratene Guetzli untersucht werden.

1. Der Bäcker, ein Computerfreak, simuliert seine Mailänderli-Produktion. Die 100 simulierten Säcklein enthielten:
   

   Missraten:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12+
   Anzahl:	19	35	42	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0

   
   Aufgrund seiner Simulation beschliesst der Bäcker die Mailänderliproduktion zu unterbrechen, um der Qualitätseinbusse auf die Spur zu kommen, wenn er mehr als 2 missratene Mailänderli im täglich entnommenen Säcklein vorfindet.
   Erkläre ausführlich in Worten warum er gerade diese Grenze wählt.
2. Ist die Entscheidung die Produktion bei 3 und mehr missratenen Mailänderli zu unterbrechen auch rechnerisch vernünftig?
   Falls ja - warum? Falls nein - welche Grenze müsste er statt dessen wählen?
3. Wie gross ist die Macht des Tests, mit der in der letzten Teilaufgabe gewählten Grenze, wenn an einem Tag wegen Übernächtigung des Gehilfen 6% Guetzli missraten sind?

Zu einer Aufnahmeprüfung werden jährlich exakt 1200 Kandidatinnen und Kandidaten zugelassen. Im letzten Jahr haben 74% die Prüfung bestanden.
Ein Vorbereitungskurs wirbt damit, dass seine Absolventen an besagter Prüfung deutlich besser abschneiden als andere. Als Beweis wird angeführt, dass im letzten Jahr von 80 Kursabsolventen nur gerade 14 die Aufnahmeprüfung nicht bestanden haben. Erhöht der Kurs die Chancen die Prüfung zu bestehen wirklich (signifikant)? Oder ist es nur Schönfärberei? Die Antwort ist durch Rechnung zu begründen.

In einem Lastwagen werden 400 Schweine transportiert. Wenn Schweine während dem Transport zu grossen Stress erleiden, ist ihr Fleisch anschliessend nicht mehr geniessbar. Dass bei einem derartigen Transport bis zu 4 Schweine Stress erleiden ist durch den Gesundheitszustand der Schweine bedingt und nicht zu ändern.
Ein Schweinehändler lässt sich regelmässig Schweine per Lastwagen liefern und möchte sichergehen, dass die geforderte Qualität erbracht wird.

1. Welcher Test wäre optimal um die Qualität der Lieferung zu überprüfen? Warum ist das aber in der Praxis nicht durchführbar?
2. Mache einen Vorschlag wie der Händler vernünftig die Qualität testen kann? Gib den Stichprobenumfang und den Grenzwert an, ab dem er die Lieferung nicht mehr akzeptiert.
3. Nehmen wir an, dass in der Lieferung 10% gestresste Schweine waren. Wie muss die Grenze zur Rückweisung der Ladung gewählt werden, damit die Macht des Tests 90% ist, wenn total 50 Schweine getestet werden?
4. Um die Schweinetransporte tiergerechter zu machen werden sie nur noch bei Nacht durchgeführt und im gleichen Laster nur noch 200 Schweine aus Mal transportiert. Bei einer kompletten Untersuchung hat sich gezeigt, dass beim Händler nur 1 gestresstes Schwein eingetroffen ist. Was passiert mit der Lieferung, wenn der Händler seinen bestehenden Test beibehält, d.h. er testet 50 Schweine und weist die Lieferung nach wie vor zurück, wenn er mehr als 2 gestresste Schweine findet. Erläutere die Rechnungen ausführlich (Fehler 1. und 2. Art).

Ein Autohersteller produziert monatlich 300’000 Fahrzeuge. Davon haben erfahrungsgemäss 2% einen Mangel, der in der Garantiephase behoben werden muss. Der Hersteller will natürlich seine Produktion kontrollieren.
Erläutere an diesem Beispiel folgende Begriffe:

1. Urnenmodell
2. Stichprobe
3. Fehler 1. Art
4. Fehler 2. Art
5. Signifikanz
6. Macht

Eine Maschine produziert stündlich 10’000 Spielfiguren. Erfahrungsgemäss sind von den Produkten 1.8% defekt. Die Produktion müsste unterbrochen werden, wenn mehr als 2.5% der Spielfiguren defekt sind.

1. Es ist eine Qualitätskontrolle zu entwerfen, so dass die Wahrscheinlichkeit einer irrtümlichen Abschaltung der Maschine höchstens 3% ist. Die gewählte Qualitätskontrolle ist detailiert zu beschreiben.
2. Wie müsste ein Qualitätstest aussehen damit ein Ausschussanteil von mehr als 6% mit 90%iger Wahrscheinlichkeit erkannt wird? Es ist eine detailierte Beschreibung verlangt.

Meistens wird angenommen, dass alle Wochentage als Tage der Geburt die gleiche Chance haben. Es gibt aber auch Argumente dafür, dass mehr Kinder an einem Montag zur Welt kommen. Es ist ein Signifikanztest auf dem Niveau 10% zu entwerfen, der auf einer Stichprobe von 20 Personen beruht. (Nullhypothese, Alternativhypothese, Verwerfungsbereich und Fehlerwahrscheinlichkeit)

Gregor Mendel (1822-1884) wurde durch seine Kreuzungsversuche berühmt. Er kreuzte 6022 gelbe und 2001 grüne Erbsensamen. Man wusste, dass die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von grünen Erbsensamen p=0.75 ist.

1. Die Nullhypothese : soll gegen die Alternativhypothese : auf dem Signifikanzniveau 5% getestet werden.
2. Wie gross ist der Fehler 2. Art, wenn in Wirklichkeit p=0.755 ist?

Das Institut für Landwirtschaft vermutet, dass die Erträge von zwei Weizensorten nicht gleich sind und möchte das wissenschaftlich untersuchen. Für den Feldversuch werden 50 Felder ausgewählt und je die Hälfte mit der Weizensorte 1 und der Weizensorte 2 bebaut.

1. Welches Testverfahren soll man anwenden?
2. Wie lautet die Nullhypothese und die Alternativhypothese?
3. Wie muss auf dem Signifikanzniveau 5% der kritische Bereich gewählt werden?

Die Wirksamkeit eines neuen Schlafmittels soll untersucht werden. Bei 16 Patienten wird jeweils die Schlafdauer mit und ohne Medikament gemessen, jedoch ohne dass die Testpersonen wissen, ob sie nun mit oder ohne Medikament schlafen. Die untenstehende Tabelle zeigt die Resultate als Schlafzeit in Stunden pro Woche:

Bei einer Wählerumfrage bei 500 zufällig ausgewählten Personen entscheiden sich 225 für den Kandidaten Immergut der Besserwisserpartei.

1. Zeige, dass der Herr Immergut auf dem 5%-Signifikanzniveau nicht mit einem Wähleranteil von mehr als 50% rechnen kann?
2. Wie viele Personen müssten sich bei der Umfrage für Immergut aussprechen, damit er mit höchstens 5% Irrtum mehr als 50% Stimmenanteil erhält?
3. Wie viele Personen müssten sich bei der Umfrage für Immergut aussprechen, damit dieser einen wahren Stimmenanteil von 60% mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% erkennt?