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Benford's Gesetz

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Aufgabe

Frank Benford (Physiker bei General Electric) beobachtete 1938, dass bei im Alltag auftretenden Zahlen die erste Ziffer mit grösster Wahrscheinlichkeit (nämlich rund 30%) eine 1 ist. Genauere Untersuchungen haben zum sog. Gesetz von Benford geführt. Das Gesetz besagt, dass die Ziffer $i$ , $i = 1,...,9$ mit Wahrscheinlichkeit

( ) 1 log10 1 + i

als erste Ziffer auftritt. Dieses Gesetz wurde empirisch für viele Datensätze überprüft, eingeschlossen die Zahlen auf den Titelseiten der New York Times und zufällig ausgewählte Aktienkurse. Benford’s Gesetz kann benutzt werden, um manipulierte Daten zu erkennen. Die Zahlen in Bill Clintons Steuererklärungen entsprechen beispielsweise ziemlich genau Benford’s Gesetz.
Es werden zufällig hintereinander 8 Zahlen aus einem statistischen Jahrbuch gewählt. Wie gross ist gemäss Benford’s Gesetz die Wahrscheinlichkeit, dass genau vier der gewählten Zahlen mit der Ziffer 1 beginnen und diese zudem gerade hintereinander gewählt wurden?

Lösung

$p = log102,q = 1 - p$
Insgesamt gibt es 5 mögliche Anordnungen der vier Ziffern 1, jede Anordnung hat die Wahrscheinlichkeit $p4q4$ . Damit folgt $5p4q4 ~~ 1%$ .