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Zuverlässigkeit von Systemen

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Aufgabe

Ein System besteht aus vier unabhängigen, gleich zuverlässigen Komponenten gemäss untenstehender Abbildung. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Komponente ein Jahr lang funktioniert, sei $p$ .

$Z(p)$ bezeichne die Wahrscheinlichkeit, dass das System während eines Jahres nicht ausfällt. Es ist zu zeigen, dass $Z(p) = p4- 3p3 + 2p2 + p$
Für welche Werte von $p$ funktioniert das System während eines Jahres mit mindestens 95-prozentiger Sicherheit?

Lösung

Mit $q = 1- p$ erhält man $[ ( ) ] Z(p) = 1 - 1- 1- q2 p q$ .
$p > 0.79$