Munterbunt

Euklid bewies, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Er nahm dazu an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, etwa

2,3,5,7,11,13,17,...,P

Mit diesen Primzahlen bildete er die Zahl

2.3.5 .7.11.13 .17...P + 1

und überlegte, dass dann auch diese Zahl eine Primzahl wäre, ein Widerspruch zur Annahme, da diese neu gebildete Zahl sicher grösser als $P$ ist. Wären die Überlegungen von Euklid auch stichhaltig, wenn er das Produkt ohne den Faktor 13, also

2 .3.5.7 .11.17...P + 1

betrachten würde? Die Antwort soll in einigen kurzen ausformulierten Sätzen begründet werden.

Schnelles Potenzieren

In den Public Key Cryptosystem-Verfahren zur Verschlüsselung von Kreditkartennummern etc. müssen lange, beispielsweise 128-stellige Zahlen, auch effizient potenziert werden können. Wir gehen davon aus, dass das verwendete Chiffriergerät problemlos sehr lange Zahlen miteinander multiplizieren kann. Gesucht ist ein Verfahren, das mit möglichst wenigen Multiplikationen von einer Zahl $a$ die Potenz $a29$ berechnen kann!
Hinweis: Naiv kann $a.a .....a$ berechnet werden, indem man 28-mal mit $a$ multipliziert....

Continuous vs Discrete Mathematics

In der Juni/Juli-Ausgabe 2000 der Zeitschrift “The American Mathematical Monthly” findet sich der nachstehende kurze Artikel:

Continuous vs. Discrete Mathematics

The world of mathematics can be divided roughly into two realms: the continuous and the discrete. The difference is nicely illustrated by wristwatches. Continuous mathematics corresponds to analog watches - the kind with separate hour, minute, and second hands. The hands move smoothly over time. From an analog watch perspective, between 12:02 P.m. and 12:03 P.m. there are infinitely many possible different times as the second hand sweeps around the watch face. Continuous mathematics studies concepts that are infinite in scope, where one object can blend smoothly into the next. The real-number system lies at the core of continuous mathematics and - just like the watch - between any two real numbers, there is an infinity of real numbers. Continuous mathematics provides excellent models and tools for analysing real-world phenomena that change smoothly over time, including the motion of planets around the sun or the flow of blood through the body.

Discrete mathematics, on the other hand, is comparable to a digital watch. On a digital watch, there are only finitely many possible different times between 12:02 P.m. and 12:03 P.m. A digital watch does not acknowledge split seconds! There is no time between 12:02:03 and 12:02:04. The watch leaps from one time to the next. A digital watch can show only finitely many different times, and the transition from one time to the next is sharp and unambiguous. Just as the real-number system plays a central role in continuous mathematics, integers are the primary tool of discrete mathematics. Discrete mathematics provides excellent models and tools for analysing real-world phenomena that change abruptly and that lie clearly in one state or another. Discrete mathematics is the tool of choice in a host of applications, from computers to telephone call routing and from personnel assignments to genetics.

Edward R. Scheinerman, Mathematics, A Discrete Introduction. Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 2000, pp. xvii-xviii.

Häufig hilft eine diskrete Sichtweise eines Problems beim Finden der Lösung einer kontinuierlichen Problemstellung und umgekehrt. Gesucht ist je ein konkretes Beispiel einer diskreten bzw. einer kontinuierlichen mathematischen Problemstellung, bei welcher die Einnahme der kontinuierlichen bzw. diskreten Sichtweise entscheidend zur Problemlösung beiträgt. Für jedes Beispiel ist die Problemstellung und die Lösungsidee auf ca. einer halben A4-Seite zu beschreiben. Auch aussagekräftige Skizzen sind sehr erwünscht.

The Rule of Three

Eines der bekanntesten amerikanischen Mathematiklehrbücher (CALCULUS, D. Hughes-Hallett et. al. , 1994 herausgegeben vom sog. Harvard-Consortium) stellt die sog. Rule of Three in den Mittelpunkt:

Every topic should be presented geometrically, numerically, and algebraically.

Mit anderen Worten: Zur Lösung mathematischer Probleme wird empfohlen, verschiedene Standpunkte einzunehmen. Probleme sollen wenn immer möglich geometrisch visualisiert werden. Computerwerkzeuge erlauben es oft, Probleme schnell zumindest näherungsweise zu lösen. Und Visualisierungen sowie numerische Lösungen liefern oft Ideen zur algebraischen bzw. expliziten Lösung eines Problems.

Gesucht ist eine konkrete mathematische Problemstellung, bei der das gleichzeitige Einnehmen der drei verschiedenen Standpunkte “graphisch, numerisch, algebraisch” entscheidend zur Problemlösung beiträgt. Die Problemstellung und die wesentlichen Ideen bei der Problemlösung sollen auf einer A4-Seite so beschrieben werden, dass die A4-Seite als Kopiervorlage für eine Folie dienen könnte.

ggT

Die Operation $ggT(a,b)$ berechnet den grössten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen a und b $(/= 0)$ . Es ist zu beweisen resp. zu widerlegen, dass die Operation $ggT ()$ mit Zahlen aus der Menge $IN$ eine Abel’sche Gruppe bildet.

Verschiedenes