Munterbunt

Unendlich viele Primzahlen

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Aufgabe

Euklid bewies, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Er nahm dazu an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, etwa

2,3,5,7,11,13,17,...,P

Mit diesen Primzahlen bildete er die Zahl

2.3.5 .7.11.13 .17...P + 1

und überlegte, dass dann auch diese Zahl eine Primzahl wäre, ein Widerspruch zur Annahme, da diese neu gebildete Zahl sicher grösser als $P$ ist. Wären die Überlegungen von Euklid auch stichhaltig, wenn er das Produkt ohne den Faktor 13, also

2 .3.5.7 .11.17...P + 1

betrachten würde? Die Antwort soll in einigen kurzen ausformulierten Sätzen begründet werden.

Lösung

Die Überlegung wäre nicht mehr stichhaltig, da diese Zahl durch 13 teilbar sein könnte.